Отечественную школу реформируют десятилетиями. Бесконечные инновации — это не шаг вперед, а два шага назад, выяснила «Русская планета»
Образование = Независимость
Добавить комментарий
Архив автора: admin
Российские школьники остались без медалей
Российские школьники заняли восьмое место на Международной математической олимпиаде, которая состоялась в Таиланде. Ни один из шести россиян не получил золотой медали — все получили серебряные. Как утверждает «Эксперт», впервые за 50 лет никто из сборной России или СССР не завоевал золотой медали.
Задача для олимпйцев
“Альберт и Бернард только что познакомились с Шерил и захотели узнать, когда у нее день рождения. Шерил дала им список из десяти возможных дат:
– 15 мая, 16 мая, 19 мая;
– 17 июня, 18 июня;
– 14 июля, 16 июля;
– 14 августа, 15 августа, 17 августа.
Затем Шерил сообщила Альберту, в каком месяце она родилась, а Бернарду – какого числа. После этого между мужчинами произошел следующий разговор.
– Я не знаю, когда день рождения Шерил, но я знаю, что Бернард этого тоже не знает, – заявил Альберт.
– Сначала я не знал, когда у Шерил день рождения, но теперь знаю, – ответил Бернард.
– А теперь и я знаю, когда родилась Шерил, – сказал Альберт.
Так когда же у Шерил день рождения?”
Всемирный день числа “Пи”
14 марта 2015 года объявлен международным днем числа Пи. Причина, по которой именно этот день удостоился такой чести в том, что этот день можно записывается в числовой форме 3.14.15. Эти цифры являются первыми цифрами числа Пи – 3,1415. Кроме того 14 марта установлено время, когда необходимо отмечать этот праздник 9 часов 26 минут 53 секунды. Данное время также состоит из цифр, которые входят в цифровую цепь числа ПИ – 3,141592653. Одним словом поздравляю всех с днем числа ПИ – 3,14.
Число Пи получается путем деления длины окружности на его диаметр, оно является бесконечным и постоянным для всех окружностей.
§ 7. Треугольник
рис.1
Треугольник (Δ) — многоугольник с тремя сторонами. Стороны треугольника часто обозначаются малыми буквами, соответствующими обозначению противоположных вершин. Если все три угла острые, то треугольник — остроугольный (рис. 1); если один из углов прямой — прямоугольный (рис. 2); стороны, образующие прямой угол, называются катетами (а, b); сторона против прямого угла — гипотенузой (с). Если один из углов тупой (например, ∠A, рис. 3), то треугольник — тупоугольный.
рис.2
ΔABC равнобедренный (рис. 4), когда две его стороны равны (b = с); равносторонний (рис. 5), когда три стороны равны (а = b = с). Равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми, третья сторона — основанием.
рис.3
Во всяком треугольнике против большей стороны лежит больший угол; против равных сторон — равные углы, и обратно. В частности, равносторонний треугольник вместе с тем равноугольный, и обратно.
рис.4
Во всяком треугольнике сумма углов равна 180°; в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60°.
рис.5
Продолжив одну из сторон треугольника (АС на рис. 6), получаем внешний угол ∠BCD. Внешний угол равен сумме внутренних, с ним не смежных: ∠BCD = ∠A + ∠B.
рис.6
Всякая сторона треугольника меньше суммы и больше разности двух других сторон (a < b + c; a > b – c).
Площадь треугольника равна произведению половины основания на высоту (о высоте треугольника см. §9): S = 0.5*a*h
§ 6. Многоугольник
Плоская фигура, образованная замкнутым рядом прямолинейных отрезков, называется многоугольником. На рис.1 изображен шестиугольник ABCDEF. Точки А, В, С, D, Е, F — вершины многоугольника; углы при них (углы многоугольника) обозначаются ∠A, ∠В, ∠С, …, ∠F. Отрезки: AC, AD, BE и т.д. — диагонали, АВ; ВС, CD и т. д. — стороны многоугольника; сумма длин сторон АВ + ВС + CD + … + FA называется периметром и обозначается р, а иногда 2р (тогда р — полупериметр).
рис.1
В элементарной геометрии рассматриваются только простые многоугольники, т. е. такие, контур которых не имеет самопересечений.
Многоугольники, контур которых имеет самопересечения, называются звездчатыми многоугольниками. На рис.2 изображен звездчатый многоугольник ABCDE.
рис.2
Если все диагонали многоугольника лежат внутри него, многоугольник называется выпуклым.
Шестиугольник на рис.1 выпуклый; пятиугольник на рис.3 невыпуклый (диагональ ЕС лежит вне многоугольника).
рис.3
Сумма внутренних углов во всяком выпуклом многоугольнике равна 180° (n-2), где n — число сторон многоугольника*.
* В учебниках геометрии это свойство высказывается обычно только для выпуклых многоугольников. Но оно справедливо для всех простых многоугольников. Но оно справедливо для всех простых многоугольников. Нужно заметить, что в невыпуклом многоугольнике один или несколько внутренних углов превышают 180°. Так, в невыпуклом пятиугольнике, изображенном на рис.3, два угла прямые, два угла имеют по 45°, а один содержит 270°. Суммаа углов составляет 180° (5-2)=540°.
§ 4. Изображение функции формулой и таблицей
Многие функциональные зависимости могут быть (точно или приближенно) представлены простыми формулами. Например, зависимость между площадью круга S и радиусом r представляется формулой S=πr2; зависимость между высотой s брошенного тела и временем t, прошедшим с момента броска, — формулой s=v0t – 0,5gt2; последняя по существу — приближенная формула, так как она не учитывает ни сопротивления воздуха, ни ослабления силы тяжести с увеличением высоты.
Часто функциональную зависимость не удается представить в виде формулы или, если удается, формула оказывается неудобной для вычислений. В этих случаях пользуются другими способами, чаще всего табличным и графическим (см. §7).
Пример. Функциональную зависимость между давлением р и температурой кипения воды Т (см. §2, пример 1) не удается представить одной формулой, которая с нужной степенью точности охватывала бы все практически важные случаи. Эта зависимость представляется таблицей, выдержка из которой имеет вид:
| р, мм | 300 | 350 | 400 | 450 | 500 | 550 | 600 | 650 | 700 |
| Т° С | 75,8 | 79,6 | 83,0 | 85,8 | 88,5 | 91,2 | 93,5 | 95,7 | 97,6 |
Для удобства вычислений значения одной переменной большей частью берутся через равные промежутки; эта переменная называется аргументом таблицы.
Всех значений аргумента никакая таблица, конечно, не может содержать, но практически пригодная таблица должна содержать столько значений аргумента, чтобы для остальных значение функции можно было бы получить с нужной степенью точности при помощи интерполяции (см. раздел Арифметика, §49).
§ 6. Координаты
Две взаимно перпендикулярные прямые X’X и У’У (рис. 1) образуют прямоугольную систему координат. Прямые X’X и У’У называются осями координату X одна из них X’X (обычно изображаемая горизонтально) называется осью абсцисс; другая У’У — осью ординат; точка О их пересечения — началом координат. На каждой из осей произвольно выбирается масштаб.
рис.1
Взяв произвольную точку М на плоскости, в которой расположены оси, найдем ее проекции Р и Q на координатные оси. Отрезок ОР на оси абсцисс, а также число х, измеряющее его в избранном масштабе, называется абсциссой точки М; отрезок OQ на оси ординат, а также измеряющее его число у — ординатой точки М. Величины х = ОР и у = OQ называют прямоугольными координатами (или просто координатами) точки М. Они считаются положительными или отрицательными в соответствии с заранее устанавливаемыми направлениями положительных отрезков на каждой из осей (обычно на оси абсцисс положительные отрезки откладываются вправо, а на оси ординат вверх).
На рис. 1 (где масштабы на обеих осях одинаковы) точка М имеет абсциссу х = 3 и ординату у = 2; точка М1 — абсциссу х1 = -2 и ординату у1 = 1. Сокращенно это записывается так: М(3; 2); М1(-2; 1). Точно так же М2(- 1,5; -3).
Каждой точке плоскости соответствует одна пара чисел х, у. Каждой паре (действительных) чисел х, у соответствует одна точка М. Прямоугольная система координат часто называется декартовой по имени французского философа и математика Р. Декарта, широко применившего координаты к исследованию многих геометрических вопросов. Это название однако неправильно.
Декарт пользовался не двумя осями, а одной, на которой откладывались абсциссы; ординаты определялись как расстояния точек плоскости от оси абсцисс; эти расстояния Декарт отсчитывал по любому заранее выбранному направлению, а не обязательно по перпендикуляру. Как абсциссы, так и ординаты у Декарта были всегда величинами положительными независимо от направления соответствующих отрезков. В большинстве учебников различение направлений на осях знаками + и – ошибочно приписывается Декарту, тогда как оно было введено лишь его учениками.
§ 5. Тригонометрические функции острого угла
Решение всяких треугольников в конечном счете сводится к решению прямоугольных треугольников. В прямоугольном же треугольнике АВС отношение двух его сторон, например катета а к гипотенузе с, всецело зависит от величины одного из острых углов, например А (рис. 1).
рис.1
1. Синус: sin А = a/c (отношение противолежащего катета к гипотенузе).
2. Косинус: cos А = b/c (отношение прилежащего катета к гипотенузе).
3. Тангенс: tg A = a/b (отношение противолежащего катета к прилежащему).
4. Котангенс: ctg А = b/a (отношение прилежащего катета к противолежащему).
5. Секанс: sec А = c/b (отношение гипотенузы к прилежащему катету).
6. Косеканс: cosec А = c/a (отношение гипотенузы к противолежащему катету).
По отношению к углу В («дополнительному» углу но отношению к А) названия соответственно меняются:
sin В = b/c ; cos В = a/c ; tg В = b/a ;
ctg В = a/b ; sec В = c/a ; cosec В = c/b .
Для некоторых углов можно написать точные выражения их тригонометрических величин. Важнейшие случаи даны в таблице ниже*.
Эта таблица имеет больше теоретическое, чем практическое значение, так как содержит неизвлекаемые точно корни. Для большинства же углов даже и с помощью корней нельзя записать точные числовые значения тригонометрических функций. Но приближенные их значения можно вычислить с любой желаемой степенью точности (см. §26).
| A | sin A | cos A | tg A | ctg A | sec A | cosec A |
| 0° | 0 | 1 | 0 | ∞ | 1 | ∞ |
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 | 2/√3 | 2 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 | √2 | √2 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 | 2 | 2/√3 |
| 90° | 1 | 0 | ∞ | 0 | ∞ | 1 |
*Углы 0° и 90°, строго говоря, не могут входить в прямоугольный треугольник в качестве его острых углов. Однако при расширении понятия тригонометрической функции (см. §6) рассматриваются значения тригонометрических функций и для этих углов. С другой стороны, один из острых углов треугольника может сколь угодно приблизиться к 90°, другой будет тогда приближаться к нулю; тогда соответствующие тригонометрические величины будут приближаться к значениям, указанным в таблице.
Знак ∞, встречающийся в этой таблице, указывает на то, что абсолютное значение данной величины неограниченно возрастает, когда угол приближается к тому значению, которое указано в таблице. Это и имеют в виду, когда говорят, что величина «равняется бесконечности» или «обращается в бесконечность» (см. Арифметика, §23 и Функции и графики, §12).
§ 3. Радианное измерение углов
Наряду с градусной мерой углов (см. Планеметрия, §5) в тригонометрии применяется и другая мера, называемая радианной. В ней за единицу измерения принимается острый угол (MON на рис. 1), под которым видна из центра окружности ее дуга MN, равная радиусу (MN = ОМ). Такой угол называется радианом. Величина этого угла не зависит от радиуса окружности и от положения дуги MN на окружности. Так как полуокружность видна из центра под углом 180°, а ее длина равна π радиусам, то радиан в π раз меньше, чем угол в 180°, т.е. один радиан равен 180°/π градусов;
рис.1
1 радиан = 180°/π ≈ 57,2958° = 57°17’45”.
Обратно, один градус равен π/180° радиана.
1° = π/180° радиана ≈ 0,017453 радиана.
1′ = π/(180°*60) радиана ≈ 0,000291 радиана.
1″ = π/(180°*60*60) радиана ≈ 0,000005 радиана.
Радианной мерой любого угла (АОВ на рис. 2) является отношение этого угла к радиану (MON на рис. 2); но отношение ∠AOB : ∠MON равно отношению дуг АВ : MN, т.е. отношению дуги АВ к радиусу.
рис.2
Таким образом, радианная мера любого угла АОВ есть отношение длины дуги АВ, описанной произвольным радиусом из центра О и заклюценной между сторонами угла, к радиусу ОА этой дуги.
Введение радианной меры угла позволяет придать многим формулам более простой вид*.
Полезно запомнить следующую сравнительную таблицу градусной и радианной мер некоторых часто встречающихся углов:
| Углы в градусах | Углы в радианах |
| 360° | 2π |
| 180° | π |
| 90° | π/2 |
| 60° | π/3 |
| 45° | π/4 |
| 30° | π/6 |
*Во многих учебниках тригонометрии усиленно подчеркивается, что при радианном измерении углов величина угла измеряется отвлеченным числом. Создающиеся при этом противопоставление радианного и градусного измерений лишено всякого основания. И в радианной и в градусной системе угол измеряется единицей угла. То, что наименование в одном случае (для градуса) проставляется, а в другом (для радиана) подразумевается, не играет ровно никакой роли.
Единственный разумный смысл вышеупомянутого утверждения заключается в том, что радианная мера угла, выражаясь отношением двух длин, совершенно не зависит от выбора еденицы длины. Но градусная мера угла не зависит от этого выбора; более того, она тоже есть отношение двух длин, именно, длины дуги, описанной из вершины угла и заключенной между его сторонами, к 1/360 части дуги окружности того же радиуса. Это отношение ничем не хуже отношения той же дуги к ее радиусу.