Архив автора: admin

Как быстро умножать в уме два двухзначных числа заканчивающихся на единицу

Умножение двузначных чисел, оканчивающихся на 1

Чтобы умножить два двузначных числа, оканчивающихся на 1, например 41 x 31, необходимо:


  1. в разряд единиц произведения записать 1:
    41 x 31 = …1;
  2. в разряд десятков произведения записать сумму десятков чисел
    4 + 3 = 7,
    41 x 31 = ..71,

    если сумма — число двузначное, то в произведение записываем единицы суммы, а десятки запоминаем;
  3. найти произведение десятков и закончить вычисления
    4 x 3 = 12,
    41 X 31 = 1271.

Несколько примеров на использование метода:

  1. 71 x 61 =
    1. 71 x 61 = …1,
    2. 6 + 7 = 13, 71 x 61 = …131,
    3. 6 x 7 = 42, 42 + 1 = 43, 71 x 61 = 4331.
  2. 21 x 51 =
    1. 21 x 51 = … 1,
    2. 2 + 5 = 7, 21 x 51 = … 71,
    3. 2 x 5 = 10, 21 x 51 = 1071.
  3. 91 x 91 =
    1. 91 x 91 = … 1,
    2. 9 + 9 = 18, 91 x 91 = …181,
    3. 9 x 9 = 81, 81 + 1 = 82, 91 x 91 = 8281.




Справедливость данного приема непосредственно вытекает из рассмотрения равенства

(10а + 1) x (10b + 1) = 100ab + 10(a + b) + 1

Фигурные числа

Про числа 25, 49, 100 говорят, что они являются квадратами. А почему? Потому что они получаются, если возвести числа 5, 7 и 10 в квадрат. Но имеет ли это название какое-нибудь отношение к геометрической фигуре-квадрату? Посмотрим на рис. 1. Солдаты стоят правильными рядами, образуя квадраты. Число солдат внутри такого квадрата легко подсчитать – нужно умножить их число вдоль горизонтальной стороны на число солдат вдоль вертикальной стороны (заметим, что эти числа равны), и получится общее количество солдат внутри квадрата.

Фигурные числа рисунок 1

рис 1


В древности вычислители часто считали с помощью камешков и, естественно, отмечали случаи, когда камешки можно было сложить в виде правильной фигуры. Кроме квадратных чисел были известны треугольные числа, которые получаются так, как это показано на рис. 2.
Фигурные числа рисунок 2

Рис.2


Нетрудно заметить, что n-е квадратное число равно n2, а n-е треугольное число равно сумме всех целых чисел от 1 до n, т.е.
Фигурные числа
Пятиугольные числа изображены на рис. 3.
Фигурные числа рисунок 3

Рис.3


Чтобы сосчитать n-е пятиугольное число, его нужно разбить на три треугольных, после чего останется еще n точек, как показано на рисунке. В результате получаем, что n-е пятиугольное число равно
Фигурные числа
Подобным образом можно образовывать любые многоугольные числа. Формула для n-го k-угольного числа такова:
Фигурные числа
При k = 3 мы получаем треугольные числа, при k = 4 – квадратные и т.д.

Аналогично можно представить число в виде прямоугольника. Для числа 12 это можно сделать многими способами (рис.4), а для числа 13-лишь расположив все предметы в одну линию. Такое число древние не считали прямоугольным. Таким образом, прямоугольными числами являются все составные числа, а непрямоугольными – простые числа.

Фигурные числа рисунок 4

Рис.4


К фигурным числам также относятся пирамидальные числа, которые получаются, если шарики складывать пирамидой, как раньше складывали ядра около пушки. Нетрудно заметить, что n-е пирамидальное число равно сумме всех треугольных чисел-от первого до n-го. Формула для вычисления n-го пирамидального числа имеет вид
Фигурные числа

Многочлен

Что такое многочлен

Многочленом Р(х) от одной переменной х называют выражение вида
Многочлен
Число n называют степенью многочлена, аn – старшим коэффициентом, а0-свободным членом.

Сложение и умножение многочлена

Для многочленов определены операции сложения и умножения по правилам:
Правило сложения многочлена
Правило умножения многочлена
Нетрудно проверить, что свойства операций НаД многочленами аналогичны свойствам арифметических операций над действительными числами:
свойства операций над многочленами аналогичны свойствам арифметических операций над действительными числами
Уравнение вида Р(х) = 0, где Р(х)-многочлен и-й степени от х, называют алгебраическим уравнением n-й степени. Число х0, такое, что Р (х0) = 0, называют корнем многочлена.

Основные теорема алгебры многочленов

В 1799 г. немецкий математик К.Ф. Гаусс доказал теорему, которая носит название «основная теорема алгебры многочленов»: любой многочлен ненулевой степени с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень.

В конце XVIII в. французский математик Э. Безу сформулировал и доказал следующую теорему: остаток от деления многочлена Р(х) (с действительными коэффициентами) на двучлен х – а равен Р (а). Отсюда, в частноти получается, что если а-корень многочлена Р, то Р(х) делится без остатка на х – а. Наибольшая степень к такая, что многочлен Р(х) делится на (х – а)к, называется кратностью корня а. Так как при делении многочлена степени n на двучлен х – а получается многочлен степени n – 1, то с учетом основной теоремы алгебры приходим к выводу: многочлен степени n (с комплексными коэффициентами) имеет в точности n корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность. Кроме того, этот многочлен можно разложить на линейные множители:
Разложение многочлена на линейные множители
где а1, а2, …, аs – корни многочлена, k1 + к2 + + … + ks = n, ki,-кратность корня аi. Можно доказать, что если a + bi-корень многочлена с действительными коэффициентами, то и а – bi – также его корень. Перемножая в разложении (4) множители (х – а – bi) и (х – а + bi), получим многочлен второй степени с действительными коэффициентами: (х – а – bi) (х – а + bi) = (х – а)2 + b2.

Отсюда следует, что многочлен с действительными коэффициентами можно разложить на множители первой и второй степени с действительными коэффициентами.

Французский математик Ф. Виет (1540-1603) установил следующие соотношения между корнями x1, x2, …, xn уравнения
соотношение между корнями уравнения
и его коэффициентами:
соотношение между коэффициентами многочлена
Это утверждение называется теоремой Виета. Для квадратного трехчлена х2 + рх + q соотношения имеют вид
Соотношения для квадратного трехчлена
где x1 и x2 – корни трехчлена.

Велика роль многочленов в математике. Многочлены являются довольно простыми функциями. Их легко дифференцировать и интегрировать. Оказывается, любую непрерывную функцию на заданном отрезке можно сколь угодно хорошо приблизить многочленом, например так, чтобы их значения отличались меньше чем на 0,001. Приближение функции многочленом в небольшой окрестности некоторой точки определения функции позволяет выяснить характер поведения функции вблизи этой точки: возрастает или убывает функция, или в этой точке она имеет экстремум (см. Экстремум функции).

Большой вклад в теорию приближения функций многочленами внес П.Л.Чебышев.

Признаки делимости на 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,25,100,1000

Признак делимости на 2.

Число, делящееся на 2, называется четным, не делящееся – нечетным. Число делится на два, если его последняя цифра четная или нуль. В остальных случаях – не делится.
Читать далее

Женщина, которая считала быстрее всех

Шакунтала Деви – индийский математик, которая в 1982 году попала в Книгу Рекордов Гиннесса за свои феноменальные способности считать числа.7,686,369,774,870 × 2,465,099,745,779 – на то, чтобы подсчитать правильный ответ в уме, Деви потребовалось 28 секунд.

Шакунтала Деви – индийский математик считала быстрее всех

Прозрение…

В одной московской школе перестал ходить на занятия мальчик. Неделю не ходит, две… Телефона у Лёвы не было, и одноклассники, по совету учительницы, решили сходить к нему домой. Дверь открыла Левина мама. Лицо у неё было очень грустное. Ребята поздоровались и робко спросили: “Почему Лёва не ходит в школу?” Мама печально ответила: “Он больше не будет учиться с вами. Ему сделали операцию. Неудачно. Лёва ослеп и сам ходить не может…”

Лев Семёнович Понтрягин (1908-1988)

Читать далее