Архив за месяц: Октябрь 2014

§ 7. Треугольник

Остроугольный треугольник

рис.1

Треугольник (Δ) — многоугольник с тремя сторонами. Стороны треугольника часто обозначаются малыми буквами, соответствующими обозначению противоположных вершин. Если все три угла острые, то треугольник — остроугольный (рис. 1); если один из углов прямой — прямоугольный (рис. 2); стороны, образующие прямой угол, называются катетами (а, b); сторона против прямого угла — гипотенузой (с). Если один из углов тупой (например, ∠A, рис. 3), то треугольник — тупоугольный.

Прямоугольный треугольник

рис.2

ΔABC равнобедренный (рис. 4), когда две его стороны равны (b = с); равносторонний (рис. 5), когда три стороны равны (а = b = с). Равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми, третья сторона — основанием.

Тупоугольный треугольник

рис.3

Во всяком треугольнике против большей стороны лежит больший угол; против равных сторон — равные углы, и обратно. В частности, равносторонний треугольник вместе с тем равноугольный, и обратно.

Равнобедренный треугольник

рис.4

Во всяком треугольнике сумма углов равна 180°; в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60°.

Равносторонний треугольник

рис.5

Продолжив одну из сторон треугольника (АС на рис. 6), получаем внешний угол ∠BCD. Внешний угол равен сумме внутренних, с ним не смежных: ∠BCD = ∠A + ∠B.

Внешний угол равен сумме внутренних, с ним не смежных

рис.6

Всякая сторона треугольника меньше суммы и больше разности двух других сторон (a < b + c; a > b — c).

Площадь треугольника равна произведению половины основания на высоту (о высоте треугольника см. §9): S = 0.5*a*h

§ 6. Многоугольник

Плоская фигура, образованная замкнутым рядом прямолинейных отрезков, называется многоугольником. На рис.1 изображен шестиугольник ABCDEF. Точки А, В, С, D, Е, Fвершины многоугольника; углы при них (углы многоугольника) обозначаются ∠A, ∠В, ∠С, …, ∠F. Отрезки: AC, AD, BE и т.д. — диагонали, АВ; ВС, CD и т. д. — стороны многоугольника; сумма длин сторон АВ + ВС + CD + … + FA называется периметром и обозначается р, а иногда (тогда рполупериметр).

Выпуклый многоугольник рис.1

В элементарной геометрии рассматриваются только простые многоугольники, т. е. такие, контур которых не имеет самопересечений.

Многоугольники, контур которых имеет самопересечения, называются звездчатыми многоугольниками. На рис.2 изображен звездчатый многоугольник ABCDE.

Звездчатый многоугольник рис.2

Если все диагонали многоугольника лежат внутри него, многоугольник называется выпуклым.

Шестиугольник на рис.1 выпуклый; пятиугольник на рис.3 невыпуклый (диагональ ЕС лежит вне многоугольника).

Невыпуклый многоугольник рис.3

Сумма внутренних углов во всяком выпуклом многоугольнике равна 180° (n-2), где n — число сторон многоугольника*.

* В учебниках геометрии это свойство высказывается обычно только для выпуклых многоугольников. Но оно справедливо для всех простых многоугольников. Но оно справедливо для всех простых многоугольников. Нужно заметить, что в невыпуклом многоугольнике один или несколько внутренних углов превышают 180°. Так, в невыпуклом пятиугольнике, изображенном на рис.3, два угла прямые, два угла имеют по 45°, а один содержит 270°. Суммаа углов составляет 180° (5-2)=540°.

§ 4. Изображение функции формулой и таблицей

Многие функциональные зависимости могут быть (точно или приближенно) представлены простыми формулами. Например, зависимость между площадью круга S и радиусом r представляется формулой S=πr2; зависимость между высотой s брошенного тела и временем t, прошедшим с момента броска, — формулой s=v0t — 0,5gt2; последняя по существу — приближенная формула, так как она не учитывает ни сопротивления воздуха, ни ослабления силы тяжести с увеличением высоты.

Часто функциональную зависимость не удается представить в виде формулы или, если удается, формула оказывается неудобной для вычислений. В этих случаях пользуются другими способами, чаще всего табличным и графическим (см. §7).

Пример. Функциональную зависимость между давлением р и температурой кипения воды Т (см. §2, пример 1) не удается представить одной формулой, которая с нужной степенью точности охватывала бы все практически важные случаи. Эта зависимость представляется таблицей, выдержка из которой имеет вид:

р, мм 300 350 400 450 500 550 600 650 700
Т° С 75,8 79,6 83,0 85,8 88,5 91,2 93,5 95,7 97,6

Для удобства вычислений значения одной переменной большей частью берутся через равные промежутки; эта переменная называется аргументом таблицы.

Всех значений аргумента никакая таблица, конечно, не может содержать, но практически пригодная таблица должна содержать столько значений аргумента, чтобы для остальных значение функции можно было бы получить с нужной степенью точности при помощи интерполяции (см. раздел Арифметика, §49).

§ 6. Координаты

Две взаимно перпендикулярные прямые X’X и У’У (рис. 1) образуют прямоугольную систему координат. Прямые X’X и У’У называются осями координату X одна из них X’X (обычно изображаемая горизонтально) называется осью абсцисс; другая У’Уосью ординат; точка О их пересечения — началом координат. На каждой из осей произвольно выбирается масштаб.

Координаты. Система координат. Ось абсцисс и ординат

рис.1

Взяв произвольную точку М на плоскости, в которой расположены оси, найдем ее проекции Р и Q на координатные оси. Отрезок ОР на оси абсцисс, а также число х, измеряющее его в избранном масштабе, называется абсциссой точки М; отрезок OQ на оси ординат, а также измеряющее его число у — ординатой точки М. Величины х = ОР и у = OQ называют прямоугольными координатами (или просто координатами) точки М. Они считаются положительными или отрицательными в соответствии с заранее устанавливаемыми направлениями положительных отрезков на каждой из осей (обычно на оси абсцисс положительные отрезки откладываются вправо, а на оси ординат вверх).

На рис. 1 (где масштабы на обеих осях одинаковы) точка М имеет абсциссу х = 3 и ординату у = 2; точка М1 — абсциссу х1 = -2 и ординату у1 = 1. Сокращенно это записывается так: М(3; 2); М1(-2; 1). Точно так же М2(- 1,5; -3).

Каждой точке плоскости соответствует одна пара чисел х, у. Каждой паре (действительных) чисел х, у соответствует одна точка М. Прямоугольная система координат часто называется декартовой по имени французского философа и математика Р. Декарта, широко применившего координаты к исследованию многих геометрических вопросов. Это название однако неправильно.

Декарт пользовался не двумя осями, а одной, на которой откладывались абсциссы; ординаты определялись как расстояния точек плоскости от оси абсцисс; эти расстояния Декарт отсчитывал по любому заранее выбранному направлению, а не обязательно по перпендикуляру. Как абсциссы, так и ординаты у Декарта были всегда величинами положительными независимо от направления соответствующих отрезков. В большинстве учебников различение направлений на осях знаками + и — ошибочно приписывается Декарту, тогда как оно было введено лишь его учениками.

§ 5. Тригонометрические функции острого угла

Решение всяких треугольников в конечном счете сводится к решению прямоугольных треугольников. В прямоугольном же треугольнике АВС отношение двух его сторон, например катета а к гипотенузе с, всецело зависит от величины одного из острых углов, например А (рис. 1).

Тригонометрические функции острого угла

рис.1

Отношения различных пар сторон прямоугольного треугольника и называются тригонометрическими функциями его острого угла. По отношению к углу А эти функции получают следующие названия и обозначения:

1. Синус: sin А = a/c (отношение противолежащего катета к гипотенузе).

2. Косинус: cos А = b/c (отношение прилежащего катета к гипотенузе).

3. Тангенс: tg A = a/b (отношение противолежащего катета к прилежащему).

4. Котангенс: ctg А = b/a (отношение прилежащего катета к противолежащему).

5. Секанс: sec А = c/b (отношение гипотенузы к прилежащему катету).

6. Косеканс: cosec А = c/a (отношение гипотенузы к противолежащему катету).

По отношению к углу Вдополнительному» углу но отношению к А) названия соответственно меняются:

sin В = b/c ; cos В = a/c ; tg В = b/a ;

ctg В = a/b ; sec В = c/a ; cosec В = c/b .

Для некоторых углов можно написать точные выражения их тригонометрических величин. Важнейшие случаи даны в таблице ниже*.

Эта таблица имеет больше теоретическое, чем практическое значение, так как содержит неизвлекаемые точно корни. Для большинства же углов даже и с помощью корней нельзя записать точные числовые значения тригонометрических функций. Но приближенные их значения можно вычислить с любой желаемой степенью точности (см. §26).

A sin A cos A tg A ctg A sec A cosec A
0 1 0 1
30° 1/2 √3/2 1/√3 √3 2/√3 2
45° √2/2 √2/2 1 1 √2 √2
60° √3/2 1/2 √3 1/√3 2 2/√3
90° 1 0 0 1

*Углы 0° и 90°, строго говоря, не могут входить в прямоугольный треугольник в качестве его острых углов. Однако при расширении понятия тригонометрической функции (см. §6) рассматриваются значения тригонометрических функций и для этих углов. С другой стороны, один из острых углов треугольника может сколь угодно приблизиться к 90°, другой будет тогда приближаться к нулю; тогда соответствующие тригонометрические величины будут приближаться к значениям, указанным в таблице.
Знак ∞, встречающийся в этой таблице, указывает на то, что абсолютное значение данной величины неограниченно возрастает, когда угол приближается к тому значению, которое указано в таблице. Это и имеют в виду, когда говорят, что величина «равняется бесконечности» или «обращается в бесконечность» (см. Арифметика, §23 и Функции и графики, §12).

§ 3. Радианное измерение углов

Наряду с градусной мерой углов (см. Планеметрия, §5) в тригонометрии применяется и другая мера, называемая радианной. В ней за единицу измерения принимается острый угол (MON на рис. 1), под которым видна из центра окружности ее дуга MN, равная радиусу (MN = ОМ). Такой угол называется радианом. Величина этого угла не зависит от радиуса окружности и от положения дуги MN на окружности. Так как полуокружность видна из центра под углом 180°, а ее длина равна π радиусам, то радиан в π раз меньше, чем угол в 180°, т.е. один радиан равен 180°/π градусов;

Радианное измерение углов

рис.1

1 радиан = 180°/π ≈ 57,2958° = 57°17’45».

Обратно, один градус равен π/180° радиана.

1° = π/180° радиана ≈ 0,017453 радиана.

1′ = π/(180°*60) радиана ≈ 0,000291 радиана.

1″ = π/(180°*60*60) радиана ≈ 0,000005 радиана.

Радианной мерой любого угла (АОВ на рис. 2) является отношение этого угла к радиану (MON на рис. 2); но отношение ∠AOB : ∠MON равно отношению дуг АВ : MN, т.е. отношению дуги АВ к радиусу.

Радианное измерение углов

рис.2

Таким образом, радианная мера любого угла АОВ есть отношение длины дуги АВ, описанной произвольным радиусом из центра О и заклюценной между сторонами угла, к радиусу ОА этой дуги.

Введение радианной меры угла позволяет придать многим формулам более простой вид*.




Полезно запомнить следующую сравнительную таблицу градусной и радианной мер некоторых часто встречающихся углов:

Углы в градусах Углы в радианах
360°
180° π
90° π/2
60° π/3
45° π/4
30° π/6

*Во многих учебниках тригонометрии усиленно подчеркивается, что при радианном измерении углов величина угла измеряется отвлеченным числом. Создающиеся при этом противопоставление радианного и градусного измерений лишено всякого основания. И в радианной и в градусной системе угол измеряется единицей угла. То, что наименование в одном случае (для градуса) проставляется, а в другом (для радиана) подразумевается, не играет ровно никакой роли.
Единственный разумный смысл вышеупомянутого утверждения заключается в том, что радианная мера угла, выражаясь отношением двух длин, совершенно не зависит от выбора еденицы длины. Но градусная мера угла не зависит от этого выбора; более того, она тоже есть отношение двух длин, именно, длины дуги, описанной из вершины угла и заключенной между его сторонами, к 1/360 части дуги окружности того же радиуса. Это отношение ничем не хуже отношения той же дуги к ее радиусу.

§ 5. Углы

Угол есть фигура (рис.1), образованная двумя лучами ОА и ОВ (стороны угла), исходящими из одной точки О (вершины угла).

Острый угол. Угол есть фигура, образованная двумя лучами ОА и ОВ (стороны угла), исходящими из одной точки О (вершины угла)

рис.1

Мерой угла служит величина поворота вокруг вершины О, переводящего луч ОА в положение ОВ. Широко распространены две системы измерения углов: радианная и градусная. Они разнятся выбором единицы меры. О радианной мере смотри раздел Тригонометрия §3.

Градусная система измерения углов*. В ней за единицу принимается угол, полученный поворотом луча на 1/360 часть одного полного оборота — градус (обозначение °). Полный оборот (например, при движении часовой стрелки с 0 час. до 12 час.) составляет, таким образом, 360°. Градус делится на 60 минут (обозначение ‘); минута — на 60 секунд (»). Запись 42°33’21» обозначает 42 градуса, 33 минуты, 21 секунду.

Угол в 90° (т.е. 1/4 полного оборота) называется прямым (рис.2) и обозначается буквой d.

Угол, меньший 90°, называется острым (АОВ на рис.1); больший 90° — тупым (рис.3). Прямые линии, образующие прямой угол, называются перпендикулярными одна к другой.

Прямой угол

рис.2

Тупой угол

рис.3

*Градусная система восходит к глубокой древности (см. раздел Арифметика, §4). Во время первой французской буржуазной революции (1793 г.) во Франции вместе с десятичной (метрической) системой мер была введена сотенная (центезимальная) система измерения углов. В ней прямой угол делится на 100 градусов («градов»), градус на 100 мин., минута на 100 сек. Эта система применяется и сейчас, но во всеобщее употребление она не вошла. Наиболее часто она употребляется в геодезических измерениях.

§ 38. Построить правильный n-угольник по данной его стороне а

На отрезке ВК, равном , как и на диаметре, строим (рис.1) полукруг. Этот полукруг делим на n равных частей точками C, D, E, F, G (вершинами правильного вписанного 2n-угольника; на нашем рисунке n=6). Центр А соединяем лучами со всеми полученными точками, кроме двух последних (K и G). Из точки В радиусом АВ проводим дугу ab, засекая на луче AD точку М и т.д. Точки B, L, M, N и т.д. последовательно соединяем прямыми. Многоугольник ABLMNF — искомый.

Построить правильный n-угольник по данной его стороне

рис.1

Решить эту задачу с помощью циркуля и линейки можно не всегда; например, при n=7, n=9 этого сделать нельзя, так как полукруг с помощью циркуля и линейки на 7 или 9 точно не делится.

§ 37. Около данного круга описать правильные треугольник, пятиугольник, шестиугольник, восьмиугольник, десятиугольник

Отметим на окружности (рис.1) вершины A, B, …, F правильного вписанного многоугольника с тем же числом сторон (см. §33 и §36). Проведем радиусы ОА, ОВ, …, OF и продолжим их. Дугу АВ разделим пополам точкой Е (см. §15). Через Е проведем JPOE. Отрезок JP, заключенный между продолжениями соседних радиусов, есть сторона искомой фигуры. На продолжении остальных радиусов откладываем отрезки ОК, OL, …, ON, равные OP. Точки J, K, L, …, N, P последовательно соединяем. Многоугольник JKLM…NP — искомый.

Около данного круга описать правильные треугольник, пятиугольник, шестиугольник, восьмиугольник, десятиугольник

рис.1

§ 36. Вписать правильный десятиугольник в данный круг

Построим точку F (рис.1), как и в §33 OF есть сторона искомой фигуры. Раствором циркуля, равным OF, сделаем на окружности десять последовательных засечек. Получим вершины искомой фигуры

Вписать правильный десятиугольник в данный круг

рис.1