Многочлен

Что такое многочлен

Многочленом Р(х) от одной переменной х называют выражение вида
Многочлен
Число n называют степенью многочлена, аn — старшим коэффициентом, а0-свободным членом.

Сложение и умножение многочлена

Для многочленов определены операции сложения и умножения по правилам:
Правило сложения многочлена
Правило умножения многочлена
Нетрудно проверить, что свойства операций НаД многочленами аналогичны свойствам арифметических операций над действительными числами:
свойства операций над многочленами аналогичны свойствам арифметических операций над действительными числами
Уравнение вида Р(х) = 0, где Р(х)-многочлен и-й степени от х, называют алгебраическим уравнением n-й степени. Число х0, такое, что Р (х0) = 0, называют корнем многочлена.

к содержанию ↑

Основные теорема алгебры многочленов

В 1799 г. немецкий математик К.Ф. Гаусс доказал теорему, которая носит название «основная теорема алгебры многочленов»: любой многочлен ненулевой степени с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень.

В конце XVIII в. французский математик Э. Безу сформулировал и доказал следующую теорему: остаток от деления многочлена Р(х) (с действительными коэффициентами) на двучлен х — а равен Р (а). Отсюда, в частноти получается, что если а-корень многочлена Р, то Р(х) делится без остатка на х — а. Наибольшая степень к такая, что многочлен Р(х) делится на (х — а)к, называется кратностью корня а. Так как при делении многочлена степени n на двучлен х — а получается многочлен степени n — 1, то с учетом основной теоремы алгебры приходим к выводу: многочлен степени n (с комплексными коэффициентами) имеет в точности n корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность. Кроме того, этот многочлен можно разложить на линейные множители:
Разложение многочлена на линейные множители
где а1, а2, …, аs — корни многочлена, k1 + к2 + + … + ks = n, ki,-кратность корня аi. Можно доказать, что если a + bi-корень многочлена с действительными коэффициентами, то и а — bi — также его корень. Перемножая в разложении (4) множители (х — а — bi) и (х — а + bi), получим многочлен второй степени с действительными коэффициентами: (х — а — bi) (х — а + bi) = (х — а)2 + b2.

Отсюда следует, что многочлен с действительными коэффициентами можно разложить на множители первой и второй степени с действительными коэффициентами.

Французский математик Ф. Виет (1540-1603) установил следующие соотношения между корнями x1, x2, …, xn уравнения
соотношение между корнями уравнения
и его коэффициентами:
соотношение между коэффициентами многочлена
Это утверждение называется теоремой Виета. Для квадратного трехчлена х2 + рх + q соотношения имеют вид
Соотношения для квадратного трехчлена
где x1 и x2 — корни трехчлена.

Велика роль многочленов в математике. Многочлены являются довольно простыми функциями. Их легко дифференцировать и интегрировать. Оказывается, любую непрерывную функцию на заданном отрезке можно сколь угодно хорошо приблизить многочленом, например так, чтобы их значения отличались меньше чем на 0,001. Приближение функции многочленом в небольшой окрестности некоторой точки определения функции позволяет выяснить характер поведения функции вблизи этой точки: возрастает или убывает функция, или в этой точке она имеет экстремум (см. Экстремум функции).

Большой вклад в теорию приближения функций многочленами внес П.Л.Чебышев.

Добавить комментарий