Архив рубрики: Геометрия

Справочник по геометрии. Выгодский М.Я.

§ 7. Треугольник

Остроугольный треугольник

рис.1

Треугольник (Δ) — многоугольник с тремя сторонами. Стороны треугольника часто обозначаются малыми буквами, соответствующими обозначению противоположных вершин. Если все три угла острые, то треугольник — остроугольный (рис. 1); если один из углов прямой — прямоугольный (рис. 2); стороны, образующие прямой угол, называются катетами (а, b); сторона против прямого угла — гипотенузой (с). Если один из углов тупой (например, ∠A, рис. 3), то треугольник — тупоугольный.

Прямоугольный треугольник

рис.2

ΔABC равнобедренный (рис. 4), когда две его стороны равны (b = с); равносторонний (рис. 5), когда три стороны равны (а = b = с). Равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми, третья сторона — основанием.

Тупоугольный треугольник

рис.3

Во всяком треугольнике против большей стороны лежит больший угол; против равных сторон — равные углы, и обратно. В частности, равносторонний треугольник вместе с тем равноугольный, и обратно.

Равнобедренный треугольник

рис.4

Во всяком треугольнике сумма углов равна 180°; в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60°.

Равносторонний треугольник

рис.5

Продолжив одну из сторон треугольника (АС на рис. 6), получаем внешний угол ∠BCD. Внешний угол равен сумме внутренних, с ним не смежных: ∠BCD = ∠A + ∠B.

Внешний угол равен сумме внутренних, с ним не смежных

рис.6

Всякая сторона треугольника меньше суммы и больше разности двух других сторон (a < b + c; a > b — c).

Площадь треугольника равна произведению половины основания на высоту (о высоте треугольника см. §9): S = 0.5*a*h

§ 6. Многоугольник

Плоская фигура, образованная замкнутым рядом прямолинейных отрезков, называется многоугольником. На рис.1 изображен шестиугольник ABCDEF. Точки А, В, С, D, Е, Fвершины многоугольника; углы при них (углы многоугольника) обозначаются ∠A, ∠В, ∠С, …, ∠F. Отрезки: AC, AD, BE и т.д. — диагонали, АВ; ВС, CD и т. д. — стороны многоугольника; сумма длин сторон АВ + ВС + CD + … + FA называется периметром и обозначается р, а иногда (тогда рполупериметр).

Выпуклый многоугольник рис.1

В элементарной геометрии рассматриваются только простые многоугольники, т. е. такие, контур которых не имеет самопересечений.

Многоугольники, контур которых имеет самопересечения, называются звездчатыми многоугольниками. На рис.2 изображен звездчатый многоугольник ABCDE.

Звездчатый многоугольник рис.2

Если все диагонали многоугольника лежат внутри него, многоугольник называется выпуклым.

Шестиугольник на рис.1 выпуклый; пятиугольник на рис.3 невыпуклый (диагональ ЕС лежит вне многоугольника).

Невыпуклый многоугольник рис.3

Сумма внутренних углов во всяком выпуклом многоугольнике равна 180° (n-2), где n — число сторон многоугольника*.

* В учебниках геометрии это свойство высказывается обычно только для выпуклых многоугольников. Но оно справедливо для всех простых многоугольников. Но оно справедливо для всех простых многоугольников. Нужно заметить, что в невыпуклом многоугольнике один или несколько внутренних углов превышают 180°. Так, в невыпуклом пятиугольнике, изображенном на рис.3, два угла прямые, два угла имеют по 45°, а один содержит 270°. Суммаа углов составляет 180° (5-2)=540°.

§ 5. Углы

Угол есть фигура (рис.1), образованная двумя лучами ОА и ОВ (стороны угла), исходящими из одной точки О (вершины угла).

Острый угол. Угол есть фигура, образованная двумя лучами ОА и ОВ (стороны угла), исходящими из одной точки О (вершины угла)

рис.1

Мерой угла служит величина поворота вокруг вершины О, переводящего луч ОА в положение ОВ. Широко распространены две системы измерения углов: радианная и градусная. Они разнятся выбором единицы меры. О радианной мере смотри раздел Тригонометрия §3.

Градусная система измерения углов*. В ней за единицу принимается угол, полученный поворотом луча на 1/360 часть одного полного оборота — градус (обозначение °). Полный оборот (например, при движении часовой стрелки с 0 час. до 12 час.) составляет, таким образом, 360°. Градус делится на 60 минут (обозначение ‘); минута — на 60 секунд (»). Запись 42°33’21» обозначает 42 градуса, 33 минуты, 21 секунду.

Угол в 90° (т.е. 1/4 полного оборота) называется прямым (рис.2) и обозначается буквой d.

Угол, меньший 90°, называется острым (АОВ на рис.1); больший 90° — тупым (рис.3). Прямые линии, образующие прямой угол, называются перпендикулярными одна к другой.

Прямой угол

рис.2

Тупой угол

рис.3

*Градусная система восходит к глубокой древности (см. раздел Арифметика, §4). Во время первой французской буржуазной революции (1793 г.) во Франции вместе с десятичной (метрической) системой мер была введена сотенная (центезимальная) система измерения углов. В ней прямой угол делится на 100 градусов («градов»), градус на 100 мин., минута на 100 сек. Эта система применяется и сейчас, но во всеобщее употребление она не вошла. Наиболее часто она употребляется в геодезических измерениях.

§ 38. Построить правильный n-угольник по данной его стороне а

На отрезке ВК, равном , как и на диаметре, строим (рис.1) полукруг. Этот полукруг делим на n равных частей точками C, D, E, F, G (вершинами правильного вписанного 2n-угольника; на нашем рисунке n=6). Центр А соединяем лучами со всеми полученными точками, кроме двух последних (K и G). Из точки В радиусом АВ проводим дугу ab, засекая на луче AD точку М и т.д. Точки B, L, M, N и т.д. последовательно соединяем прямыми. Многоугольник ABLMNF — искомый.

Построить правильный n-угольник по данной его стороне

рис.1

Решить эту задачу с помощью циркуля и линейки можно не всегда; например, при n=7, n=9 этого сделать нельзя, так как полукруг с помощью циркуля и линейки на 7 или 9 точно не делится.

§ 37. Около данного круга описать правильные треугольник, пятиугольник, шестиугольник, восьмиугольник, десятиугольник

Отметим на окружности (рис.1) вершины A, B, …, F правильного вписанного многоугольника с тем же числом сторон (см. §33 и §36). Проведем радиусы ОА, ОВ, …, OF и продолжим их. Дугу АВ разделим пополам точкой Е (см. §15). Через Е проведем JPOE. Отрезок JP, заключенный между продолжениями соседних радиусов, есть сторона искомой фигуры. На продолжении остальных радиусов откладываем отрезки ОК, OL, …, ON, равные OP. Точки J, K, L, …, N, P последовательно соединяем. Многоугольник JKLM…NP — искомый.

Около данного круга описать правильные треугольник, пятиугольник, шестиугольник, восьмиугольник, десятиугольник

рис.1

§ 36. Вписать правильный десятиугольник в данный круг

Построим точку F (рис.1), как и в §33 OF есть сторона искомой фигуры. Раствором циркуля, равным OF, сделаем на окружности десять последовательных засечек. Получим вершины искомой фигуры

Вписать правильный десятиугольник в данный круг

рис.1

§ 35. Вписать правильный восьмиугольник в данный круг

Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD (рис.1). Разделив пополам дуги AD, DB, BC, CA точками E, F, G, H (см. §15), последовательно соединяем полученные восемь точек.

Вписать правильный восьмиугольник в данный круг

рис.1

§ 34. Вписать в данный круг правильные шестиугольник и треугольник

Раствором циркуля, равным радиусу круга, делаем на окружности засечки в точках A, B, C, D, E, F (рис.1). Соединяя точки A, B, C, D, E, F подряд, получим правильный шестиугольник. Соединяя их через одну, получим правильный (равносторонний) треугольник.

Вписать в данный круг правильные шестиугольник и треугольник

рис.1

§ 33. Вписать правильный пятиугольник в данный круг

Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD (рис.1). Делим пополам радиус АО точкой Е. Из Е радиусом ЕС проводим дугу CF, пересекая ее диаметр АВ в точке F. Из С радиусом CF проводим дугу FG, пересекая ею данную окружность в точке G; CG(=CF) есть одна сторона искомой фигуры. Проводим тем же радиусом дугу mn из точки П как из центра, получаем еще одну вершину H искомой фигуры и т.д.

Вписать правильный пятиугольник в данный круг

рис.1

§ 32. Описать квадрат около данного круга

Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD (рис.1). Из их концов, как из центров, описываем четыре полуокружности радиусами, равными ОА. Точки F, G, H и E их пересечения — вершины искомого квадрата.

Описать квадрат около данного круга

рис.1