Наряду с градусной мерой углов (см. Планеметрия, §5) в тригонометрии применяется и другая мера, называемая радианной. В ней за единицу измерения принимается острый угол (MON на рис. 1), под которым видна из центра окружности ее дуга MN, равная радиусу (MN = ОМ). Такой угол называется радианом. Величина этого угла не зависит от радиуса окружности и от положения дуги MN на окружности. Так как полуокружность видна из центра под углом 180°, а ее длина равна π радиусам, то радиан в π раз меньше, чем угол в 180°, т.е. один радиан равен 180°/π градусов;
1 радиан = 180°/π ≈ 57,2958° = 57°17’45”.
Обратно, один градус равен π/180° радиана.
1° = π/180° радиана ≈ 0,017453 радиана.
1′ = π/(180°*60) радиана ≈ 0,000291 радиана.
1″ = π/(180°*60*60) радиана ≈ 0,000005 радиана.
Радианной мерой любого угла (АОВ на рис. 2) является отношение этого угла к радиану (MON на рис. 2); но отношение ∠AOB : ∠MON равно отношению дуг АВ : MN, т.е. отношению дуги АВ к радиусу.
Таким образом, радианная мера любого угла АОВ есть отношение длины дуги АВ, описанной произвольным радиусом из центра О и заклюценной между сторонами угла, к радиусу ОА этой дуги.
Введение радианной меры угла позволяет придать многим формулам более простой вид*.
Полезно запомнить следующую сравнительную таблицу градусной и радианной мер некоторых часто встречающихся углов:
Углы в градусах | Углы в радианах |
360° | 2π |
180° | π |
90° | π/2 |
60° | π/3 |
45° | π/4 |
30° | π/6 |
*Во многих учебниках тригонометрии усиленно подчеркивается, что при радианном измерении углов величина угла измеряется отвлеченным числом. Создающиеся при этом противопоставление радианного и градусного измерений лишено всякого основания. И в радианной и в градусной системе угол измеряется единицей угла. То, что наименование в одном случае (для градуса) проставляется, а в другом (для радиана) подразумевается, не играет ровно никакой роли.
Единственный разумный смысл вышеупомянутого утверждения заключается в том, что радианная мера угла, выражаясь отношением двух длин, совершенно не зависит от выбора еденицы длины. Но градусная мера угла не зависит от этого выбора; более того, она тоже есть отношение двух длин, именно, длины дуги, описанной из вершины угла и заключенной между его сторонами, к 1/360 части дуги окружности того же радиуса. Это отношение ничем не хуже отношения той же дуги к ее радиусу.
— угловая мера, в которой за единицу принимается угол в 1 радиан. То есть, радианная мера любого угла — это отношение этого угла к радиану