Архив метки: угол

§ 5. Тригонометрические функции острого угла

Решение всяких треугольников в конечном счете сводится к решению прямоугольных треугольников. В прямоугольном же треугольнике АВС отношение двух его сторон, например катета а к гипотенузе с, всецело зависит от величины одного из острых углов, например А (рис. 1).

Тригонометрические функции острого угла

рис.1

Отношения различных пар сторон прямоугольного треугольника и называются тригонометрическими функциями его острого угла. По отношению к углу А эти функции получают следующие названия и обозначения:

1. Синус: sin А = a/c (отношение противолежащего катета к гипотенузе).

2. Косинус: cos А = b/c (отношение прилежащего катета к гипотенузе).

3. Тангенс: tg A = a/b (отношение противолежащего катета к прилежащему).

4. Котангенс: ctg А = b/a (отношение прилежащего катета к противолежащему).

5. Секанс: sec А = c/b (отношение гипотенузы к прилежащему катету).

6. Косеканс: cosec А = c/a (отношение гипотенузы к противолежащему катету).

По отношению к углу Вдополнительному» углу но отношению к А) названия соответственно меняются:

sin В = b/c ; cos В = a/c ; tg В = b/a ;

ctg В = a/b ; sec В = c/a ; cosec В = c/b .

Для некоторых углов можно написать точные выражения их тригонометрических величин. Важнейшие случаи даны в таблице ниже*.

Эта таблица имеет больше теоретическое, чем практическое значение, так как содержит неизвлекаемые точно корни. Для большинства же углов даже и с помощью корней нельзя записать точные числовые значения тригонометрических функций. Но приближенные их значения можно вычислить с любой желаемой степенью точности (см. §26).

A sin A cos A tg A ctg A sec A cosec A
0 1 0 1
30° 1/2 √3/2 1/√3 √3 2/√3 2
45° √2/2 √2/2 1 1 √2 √2
60° √3/2 1/2 √3 1/√3 2 2/√3
90° 1 0 0 1

*Углы 0° и 90°, строго говоря, не могут входить в прямоугольный треугольник в качестве его острых углов. Однако при расширении понятия тригонометрической функции (см. §6) рассматриваются значения тригонометрических функций и для этих углов. С другой стороны, один из острых углов треугольника может сколь угодно приблизиться к 90°, другой будет тогда приближаться к нулю; тогда соответствующие тригонометрические величины будут приближаться к значениям, указанным в таблице.
Знак ∞, встречающийся в этой таблице, указывает на то, что абсолютное значение данной величины неограниченно возрастает, когда угол приближается к тому значению, которое указано в таблице. Это и имеют в виду, когда говорят, что величина «равняется бесконечности» или «обращается в бесконечность» (см. Арифметика, §23 и Функции и графики, §12).

§ 3. Радианное измерение углов

Наряду с градусной мерой углов (см. Планеметрия, §5) в тригонометрии применяется и другая мера, называемая радианной. В ней за единицу измерения принимается острый угол (MON на рис. 1), под которым видна из центра окружности ее дуга MN, равная радиусу (MN = ОМ). Такой угол называется радианом. Величина этого угла не зависит от радиуса окружности и от положения дуги MN на окружности. Так как полуокружность видна из центра под углом 180°, а ее длина равна π радиусам, то радиан в π раз меньше, чем угол в 180°, т.е. один радиан равен 180°/π градусов;

Радианное измерение углов

рис.1

1 радиан = 180°/π ≈ 57,2958° = 57°17’45».

Обратно, один градус равен π/180° радиана.

1° = π/180° радиана ≈ 0,017453 радиана.

1′ = π/(180°*60) радиана ≈ 0,000291 радиана.

1″ = π/(180°*60*60) радиана ≈ 0,000005 радиана.

Радианной мерой любого угла (АОВ на рис. 2) является отношение этого угла к радиану (MON на рис. 2); но отношение ∠AOB : ∠MON равно отношению дуг АВ : MN, т.е. отношению дуги АВ к радиусу.

Радианное измерение углов

рис.2

Таким образом, радианная мера любого угла АОВ есть отношение длины дуги АВ, описанной произвольным радиусом из центра О и заклюценной между сторонами угла, к радиусу ОА этой дуги.

Введение радианной меры угла позволяет придать многим формулам более простой вид*.




Полезно запомнить следующую сравнительную таблицу градусной и радианной мер некоторых часто встречающихся углов:

Углы в градусах Углы в радианах
360°
180° π
90° π/2
60° π/3
45° π/4
30° π/6

*Во многих учебниках тригонометрии усиленно подчеркивается, что при радианном измерении углов величина угла измеряется отвлеченным числом. Создающиеся при этом противопоставление радианного и градусного измерений лишено всякого основания. И в радианной и в градусной системе угол измеряется единицей угла. То, что наименование в одном случае (для градуса) проставляется, а в другом (для радиана) подразумевается, не играет ровно никакой роли.
Единственный разумный смысл вышеупомянутого утверждения заключается в том, что радианная мера угла, выражаясь отношением двух длин, совершенно не зависит от выбора еденицы длины. Но градусная мера угла не зависит от этого выбора; более того, она тоже есть отношение двух длин, именно, длины дуги, описанной из вершины угла и заключенной между его сторонами, к 1/360 части дуги окружности того же радиуса. Это отношение ничем не хуже отношения той же дуги к ее радиусу.

§ 5. Углы

Угол есть фигура (рис.1), образованная двумя лучами ОА и ОВ (стороны угла), исходящими из одной точки О (вершины угла).

Острый угол. Угол есть фигура, образованная двумя лучами ОА и ОВ (стороны угла), исходящими из одной точки О (вершины угла)

рис.1

Мерой угла служит величина поворота вокруг вершины О, переводящего луч ОА в положение ОВ. Широко распространены две системы измерения углов: радианная и градусная. Они разнятся выбором единицы меры. О радианной мере смотри раздел Тригонометрия §3.

Градусная система измерения углов*. В ней за единицу принимается угол, полученный поворотом луча на 1/360 часть одного полного оборота — градус (обозначение °). Полный оборот (например, при движении часовой стрелки с 0 час. до 12 час.) составляет, таким образом, 360°. Градус делится на 60 минут (обозначение ‘); минута — на 60 секунд (»). Запись 42°33’21» обозначает 42 градуса, 33 минуты, 21 секунду.

Угол в 90° (т.е. 1/4 полного оборота) называется прямым (рис.2) и обозначается буквой d.

Угол, меньший 90°, называется острым (АОВ на рис.1); больший 90° — тупым (рис.3). Прямые линии, образующие прямой угол, называются перпендикулярными одна к другой.

Прямой угол

рис.2

Тупой угол

рис.3

*Градусная система восходит к глубокой древности (см. раздел Арифметика, §4). Во время первой французской буржуазной революции (1793 г.) во Франции вместе с десятичной (метрической) системой мер была введена сотенная (центезимальная) система измерения углов. В ней прямой угол делится на 100 градусов («градов»), градус на 100 мин., минута на 100 сек. Эта система применяется и сейчас, но во всеобщее употребление она не вошла. Наиболее часто она употребляется в геодезических измерениях.

§ 27. Построить параллелограмм по данным сторонам a и b и одному из углов α

Строим ∠ А=α (см. §7); на его сторонах откладываем отрезки АС=а, АВ=b (рис.1). Проводим из В дугу mn радиусом а и из С — дугу pq радиусом b. Точку пересечения этих дуг D соединяем с С и В.

Построить параллелограмм по данным сторонам и одному из углов

рис.1

§ 16. Найти геометрическое место точек, из которых данный отрезок АВ виден под данным углом а

Искомое геометрическое место точек представляет собой две дуги равных окружностей, опирающиеся концами в точки А и В (рис.1). (Сами точки А и В не принадлежат геометрическому месту.) Центры этих дуг находятся так: проводим перпендикуляры AD и BK в концах отрезка АВ (см. §5). Строим угол KBL=a. В пересечении BL и AD получаем точку С. Середина О отрезка ВС есть центр одной из искомых дуг. Другая дуга строится так же.

Найти геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом

рис.1

§ 11. Разделить данный угол BAC на три равные части

Простой линейкой и циркулем точно выполнить это построение нельзя. С помощью циркуля и сантиметровой линейки построение можно выполнить так (рис.1): произвольным радиусом АС описываем из точки А окружность. Продолжаем АС за точку А. Кладем линейку так, чтобы она проходила через точку В, и вращаем ее вокруг В до тех пор, пока отрезок ED между окружностью и прямой АК не станет равным радиусу АС. Тогда угол EDF есть треть угла ВАС.

Разделить данный угол на три равные части

рис.1

§ 10. Разделить данный угол ВАС пополам

Из вершины A проводим дугу DE произвольным радиусом (рис.1). Из точек D и Е ее пересечения со сторонами АВ и АС описываем произвольными равными радиусами (удобнее всего прежним раствором циркуля) дуги ab, ac. Точку их пересечения соединяем с А; полученная прямая AF делит угол ВАС пополам

Разделить данный угол ВАС пополам

рис.1

§ 8. Построить угол 45°

На сторонах прямого ушла ВАС (рис.1) откладываем равные отрезки АВ и АС и соединяем их концы отрезком прямой СВ. Прямая ВС образует с АС и АВ углы под 45°

Построить угол 45°

рис.1

§ 8. Построить углы 60° и 30°

Из концов А и В (рис.1) произвольного отрезка АВ описываем дуги радиусом АВ. Точки их пересечения С и D соединяем прямой, которая пересечет отрезок АВ в середине О. Точку А соединяем отрезком прямой с точкой С. ∠САО=60°, ∠АСО=30°

Построить углы 60° и 30°

рис.1

§ 7. При данной вершине K и луче KM построить угол, равный данному углу ABC

Из вершины В описываем дугу PQ произвольного радиуса (рис.1). Тем же раствором циркуля описываем из центра К дугу pq. Из точки р засекаем дугу ab радиусом, равным PQ. Точку q пересечения дуг pq и ab соединяем с К. Угол qKM искомый.

При данной вершине и луче построить угол, равный данному углу

рис.1