Архив метки: функции

§ 5. Тригонометрические функции острого угла

Решение всяких треугольников в конечном счете сводится к решению прямоугольных треугольников. В прямоугольном же треугольнике АВС отношение двух его сторон, например катета а к гипотенузе с, всецело зависит от величины одного из острых углов, например А (рис. 1).

Тригонометрические функции острого угла

рис.1

Отношения различных пар сторон прямоугольного треугольника и называются тригонометрическими функциями его острого угла. По отношению к углу А эти функции получают следующие названия и обозначения:

1. Синус: sin А = a/c (отношение противолежащего катета к гипотенузе).

2. Косинус: cos А = b/c (отношение прилежащего катета к гипотенузе).

3. Тангенс: tg A = a/b (отношение противолежащего катета к прилежащему).

4. Котангенс: ctg А = b/a (отношение прилежащего катета к противолежащему).

5. Секанс: sec А = c/b (отношение гипотенузы к прилежащему катету).

6. Косеканс: cosec А = c/a (отношение гипотенузы к противолежащему катету).

По отношению к углу Вдополнительному» углу но отношению к А) названия соответственно меняются:

sin В = b/c ; cos В = a/c ; tg В = b/a ;

ctg В = a/b ; sec В = c/a ; cosec В = c/b .

Для некоторых углов можно написать точные выражения их тригонометрических величин. Важнейшие случаи даны в таблице ниже*.

Эта таблица имеет больше теоретическое, чем практическое значение, так как содержит неизвлекаемые точно корни. Для большинства же углов даже и с помощью корней нельзя записать точные числовые значения тригонометрических функций. Но приближенные их значения можно вычислить с любой желаемой степенью точности (см. §26).

A sin A cos A tg A ctg A sec A cosec A
0 1 0 1
30° 1/2 √3/2 1/√3 √3 2/√3 2
45° √2/2 √2/2 1 1 √2 √2
60° √3/2 1/2 √3 1/√3 2 2/√3
90° 1 0 0 1

*Углы 0° и 90°, строго говоря, не могут входить в прямоугольный треугольник в качестве его острых углов. Однако при расширении понятия тригонометрической функции (см. §6) рассматриваются значения тригонометрических функций и для этих углов. С другой стороны, один из острых углов треугольника может сколь угодно приблизиться к 90°, другой будет тогда приближаться к нулю; тогда соответствующие тригонометрические величины будут приближаться к значениям, указанным в таблице.
Знак ∞, встречающийся в этой таблице, указывает на то, что абсолютное значение данной величины неограниченно возрастает, когда угол приближается к тому значению, которое указано в таблице. Это и имеют в виду, когда говорят, что величина «равняется бесконечности» или «обращается в бесконечность» (см. Арифметика, §23 и Функции и графики, §12).

§ 3. Обратная функция

Для характеристики функции совершенно не существенно, какой буквой обозначается сама функция и ее аргумент; так, если имеем у=х2 и u=v2, то у есть такая же функция х, как и функция v; иначе говоря, х2 и v — это одна и та же функция, хотя аргумент ее обозначен неодинаково.

Если в данной функциональной зависимости аргумент и функцию поменять ролями, мы получаем новую функцию, называемую обратной по отношению к исходной.

Пример 1. Пусть имеем функцию и аргумента v

u=v2

Если поменять ролями аргумент и функцию, величина v будет функцией u и представится формулой v=√u . Если аргумент в обоих случаях обозначить одной и той же буквой х, то исходная функция есть х2, а обратная ей √x.

Пример 2. Функцией, обратной sin х, является arcsin х. Действительно, если у=sin х, то х=arcsin у (V, §24).

О графике обратной функции см.§8, п.7.

§ 2. Функциональная зависимость между двумя переменными

Говорят, что две переменные величины х, у связаны функциональной зависимостью, если каждому значению, которое может принять одна из них, соответствует одно или несколько определенных значений другой.

Пример 1. Температура Т кипения воды и атмосферное давление р связаны функциональной зависимостью, так как каждому значению Т соответствует одно определенное значение р и обратно. Так, если Т = 100°С, то р непременно равно 760 мм рт. ст.; если Т = 70°С, то р = 234 мм рт.ст. и т.д. Напротив, атмосферное давление р и относительная влажность воздуха х (рассматриваемые как переменные величины) не связаны функциональной зависимостью: если известно, что х = 90% , то о величине р нельзя еще сказать ничего определенного.

Пример 2. Площадь равностороннего треугольника S и его периметр р связаны функциональной зависимостью. Формула S = (√3 : 36) р2 представляет эту зависимость.

Если желательно подчеркнуть, что в данном вопросе значения переменной у должны находиться по заданным значениям переменной х, то последняя (х) называется независимой переменной или аргументом, а первая (у) — зависимой переменной или функцией.

Пример 3. Если по величине периметра р равностороннего треугольника мы хотим судить о его площади S (см. пример 2), то р есть аргумент (независимая переменная), a S — функция (зависимая переменная).

Чаще всего независимая переменная обозначается буквой х.

Если каждому значению аргумента х соответствует только одно значение функции у, то функция называется однозначной, если два или более — многозначной (двузначной, трехзначной и т.д.).

Пример 4. Тело брошено вверх; s — высота его подъема над землей; t — время, прошедшее с момента броска. Величина s есть однозначная функция t, так как в каждый данный момент высота тела — вполне определенная величина. Величина t — двузначная функция s, так как тело находится на данной высоте s дважды — один раз при полете вверх, другой раз при падении вниз.

Формула s = v0t — 0,5gt2, связывающая переменные s, t (начальная скорость v0 и ускорение свободного падения g — в данном случае постоянные величины), показывает, что при данном t имеем одно значение s, а при данном s — два значения t, определяемые из квадратного уравнения

0,5gt2 -v0t+s = 0.

§ 1. Постоянные и переменные величины

Применение математики к изучению законов природы и к использованию их в технике заставило ввести в математику понятие переменной величины и, в противоположность ей, понятие постоянной величины. Переменная величина — это такая величина, которая в условиях данного вопроса может принимать различные значения. Постоянная величина в условиях данного вопроса сохраняет неизменное значение. Одна и та же величина в одном вопросе может быть постоянной, в другом — переменной величиной.

Пример. Температура Т кипения воды в большинстве физических вопросов есть величина постоянная (Т = 100 °С). Однако в тех вопросах, где нужно считаться с изменением атмосферного давления, Т есть величина переменная.

Различение постоянных и переменных величин особенно часто применяется в высшей математике; в элементарной математике основную роль играет разделение величин на известные и неизвестные. Последнее сохраняется и в высшей математике, но не играет там основной роли.

Чаще всего переменные величины обозначаются последними буквами латинского алфавита х, у, z,…, а постоянные — первыми а, Ь, с, … .