Архив метки: графики

§ 2. Функциональная зависимость между двумя переменными

Говорят, что две переменные величины х, у связаны функциональной зависимостью, если каждому значению, которое может принять одна из них, соответствует одно или несколько определенных значений другой.

Пример 1. Температура Т кипения воды и атмосферное давление р связаны функциональной зависимостью, так как каждому значению Т соответствует одно определенное значение р и обратно. Так, если Т = 100°С, то р непременно равно 760 мм рт. ст.; если Т = 70°С, то р = 234 мм рт.ст. и т.д. Напротив, атмосферное давление р и относительная влажность воздуха х (рассматриваемые как переменные величины) не связаны функциональной зависимостью: если известно, что х = 90% , то о величине р нельзя еще сказать ничего определенного.

Пример 2. Площадь равностороннего треугольника S и его периметр р связаны функциональной зависимостью. Формула S = (√3 : 36) р2 представляет эту зависимость.

Если желательно подчеркнуть, что в данном вопросе значения переменной у должны находиться по заданным значениям переменной х, то последняя (х) называется независимой переменной или аргументом, а первая (у) — зависимой переменной или функцией.

Пример 3. Если по величине периметра р равностороннего треугольника мы хотим судить о его площади S (см. пример 2), то р есть аргумент (независимая переменная), a S — функция (зависимая переменная).

Чаще всего независимая переменная обозначается буквой х.

Если каждому значению аргумента х соответствует только одно значение функции у, то функция называется однозначной, если два или более — многозначной (двузначной, трехзначной и т.д.).

Пример 4. Тело брошено вверх; s — высота его подъема над землей; t — время, прошедшее с момента броска. Величина s есть однозначная функция t, так как в каждый данный момент высота тела — вполне определенная величина. Величина t — двузначная функция s, так как тело находится на данной высоте s дважды — один раз при полете вверх, другой раз при падении вниз.

Формула s = v0t — 0,5gt2, связывающая переменные s, t (начальная скорость v0 и ускорение свободного падения g — в данном случае постоянные величины), показывает, что при данном t имеем одно значение s, а при данном s — два значения t, определяемые из квадратного уравнения

0,5gt2 -v0t+s = 0.

§ 1. Постоянные и переменные величины

Применение математики к изучению законов природы и к использованию их в технике заставило ввести в математику понятие переменной величины и, в противоположность ей, понятие постоянной величины. Переменная величина — это такая величина, которая в условиях данного вопроса может принимать различные значения. Постоянная величина в условиях данного вопроса сохраняет неизменное значение. Одна и та же величина в одном вопросе может быть постоянной, в другом — переменной величиной.

Пример. Температура Т кипения воды в большинстве физических вопросов есть величина постоянная (Т = 100 °С). Однако в тех вопросах, где нужно считаться с изменением атмосферного давления, Т есть величина переменная.

Различение постоянных и переменных величин особенно часто применяется в высшей математике; в элементарной математике основную роль играет разделение величин на известные и неизвестные. Последнее сохраняется и в высшей математике, но не играет там основной роли.

Чаще всего переменные величины обозначаются последними буквами латинского алфавита х, у, z,…, а постоянные — первыми а, Ь, с, … .