Архив за месяц: Апрель 2020

Фигурные числа

Про числа 25, 49, 100 говорят, что они являются квадратами. А почему? Потому что они получаются, если возвести числа 5, 7 и 10 в квадрат. Но имеет ли это название какое-нибудь отношение к геометрической фигуре-квадрату? Посмотрим на рис. 1. Солдаты стоят правильными рядами, образуя квадраты. Число солдат внутри такого квадрата легко подсчитать — нужно умножить их число вдоль горизонтальной стороны на число солдат вдоль вертикальной стороны (заметим, что эти числа равны), и получится общее количество солдат внутри квадрата.

Фигурные числа рисунок 1

рис 1


В древности вычислители часто считали с помощью камешков и, естественно, отмечали случаи, когда камешки можно было сложить в виде правильной фигуры. Кроме квадратных чисел были известны треугольные числа, которые получаются так, как это показано на рис. 2.
Фигурные числа рисунок 2

Рис.2


Нетрудно заметить, что n-е квадратное число равно n2, а n-е треугольное число равно сумме всех целых чисел от 1 до n, т.е.
Фигурные числа
Пятиугольные числа изображены на рис. 3.
Фигурные числа рисунок 3

Рис.3


Чтобы сосчитать n-е пятиугольное число, его нужно разбить на три треугольных, после чего останется еще n точек, как показано на рисунке. В результате получаем, что n-е пятиугольное число равно
Фигурные числа
Подобным образом можно образовывать любые многоугольные числа. Формула для n-го k-угольного числа такова:
Фигурные числа
При k = 3 мы получаем треугольные числа, при k = 4 — квадратные и т.д.

Аналогично можно представить число в виде прямоугольника. Для числа 12 это можно сделать многими способами (рис.4), а для числа 13-лишь расположив все предметы в одну линию. Такое число древние не считали прямоугольным. Таким образом, прямоугольными числами являются все составные числа, а непрямоугольными — простые числа.

Фигурные числа рисунок 4

Рис.4


К фигурным числам также относятся пирамидальные числа, которые получаются, если шарики складывать пирамидой, как раньше складывали ядра около пушки. Нетрудно заметить, что n-е пирамидальное число равно сумме всех треугольных чисел-от первого до n-го. Формула для вычисления n-го пирамидального числа имеет вид
Фигурные числа

Многочлен

Что такое многочлен

Многочленом Р(х) от одной переменной х называют выражение вида
Многочлен
Число n называют степенью многочлена, аn — старшим коэффициентом, а0-свободным членом.

Сложение и умножение многочлена

Для многочленов определены операции сложения и умножения по правилам:
Правило сложения многочлена
Правило умножения многочлена
Нетрудно проверить, что свойства операций НаД многочленами аналогичны свойствам арифметических операций над действительными числами:
свойства операций над многочленами аналогичны свойствам арифметических операций над действительными числами
Уравнение вида Р(х) = 0, где Р(х)-многочлен и-й степени от х, называют алгебраическим уравнением n-й степени. Число х0, такое, что Р (х0) = 0, называют корнем многочлена.

Основные теорема алгебры многочленов

В 1799 г. немецкий математик К.Ф. Гаусс доказал теорему, которая носит название «основная теорема алгебры многочленов»: любой многочлен ненулевой степени с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень.

В конце XVIII в. французский математик Э. Безу сформулировал и доказал следующую теорему: остаток от деления многочлена Р(х) (с действительными коэффициентами) на двучлен х — а равен Р (а). Отсюда, в частноти получается, что если а-корень многочлена Р, то Р(х) делится без остатка на х — а. Наибольшая степень к такая, что многочлен Р(х) делится на (х — а)к, называется кратностью корня а. Так как при делении многочлена степени n на двучлен х — а получается многочлен степени n — 1, то с учетом основной теоремы алгебры приходим к выводу: многочлен степени n (с комплексными коэффициентами) имеет в точности n корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность. Кроме того, этот многочлен можно разложить на линейные множители:
Разложение многочлена на линейные множители
где а1, а2, …, аs — корни многочлена, k1 + к2 + + … + ks = n, ki,-кратность корня аi. Можно доказать, что если a + bi-корень многочлена с действительными коэффициентами, то и а — bi — также его корень. Перемножая в разложении (4) множители (х — а — bi) и (х — а + bi), получим многочлен второй степени с действительными коэффициентами: (х — а — bi) (х — а + bi) = (х — а)2 + b2.

Отсюда следует, что многочлен с действительными коэффициентами можно разложить на множители первой и второй степени с действительными коэффициентами.

Французский математик Ф. Виет (1540-1603) установил следующие соотношения между корнями x1, x2, …, xn уравнения
соотношение между корнями уравнения
и его коэффициентами:
соотношение между коэффициентами многочлена
Это утверждение называется теоремой Виета. Для квадратного трехчлена х2 + рх + q соотношения имеют вид
Соотношения для квадратного трехчлена
где x1 и x2 — корни трехчлена.

Велика роль многочленов в математике. Многочлены являются довольно простыми функциями. Их легко дифференцировать и интегрировать. Оказывается, любую непрерывную функцию на заданном отрезке можно сколь угодно хорошо приблизить многочленом, например так, чтобы их значения отличались меньше чем на 0,001. Приближение функции многочленом в небольшой окрестности некоторой точки определения функции позволяет выяснить характер поведения функции вблизи этой точки: возрастает или убывает функция, или в этой точке она имеет экстремум (см. Экстремум функции).

Большой вклад в теорию приближения функций многочленами внес П.Л.Чебышев.