Архив рубрики: Алгебра

Справочник по алгебре. Выгодский М.Я.

Признаки делимости чисел на 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,25,100,1000

Признак делимости на 2.

Число, делящееся на 2, называется четным, не делящееся — нечетным. Число делится на два, если его последняя цифра четная или нуль. В остальных случаях — не делится.

Читать далее

Задача для олимпйцев

«Альберт и Бернард только что познакомились с Шерил и захотели узнать, когда у нее день рождения. Шерил дала им список из десяти возможных дат:

— 15 мая, 16 мая, 19 мая;

— 17 июня, 18 июня;

— 14 июля, 16 июля;

— 14 августа, 15 августа, 17 августа.

Затем Шерил сообщила Альберту, в каком месяце она родилась, а Бернарду — какого числа. После этого между мужчинами произошел следующий разговор.

— Я не знаю, когда день рождения Шерил, но я знаю, что Бернард этого тоже не знает, — заявил Альберт.

— Сначала я не знал, когда у Шерил день рождения, но теперь знаю, — ответил Бернард.

— А теперь и я знаю, когда родилась Шерил, — сказал Альберт.

Так когда же у Шерил день рождения?»

§ 1. Предмет алгебры

Предметом алгебры является изучение уравнений и ряда вопросов, которые развились из теории уравнений. В настоящее время, когда математика разделилась на ряд специальных областей, к области алгебры относят лишь уравнения определенного типа, так называемые алгебраические уравнения.

§ 3. Отрицательные числа

На самых ранних ступенях развития люди знали только натуральные числа. Но этими числами нельзя обойтись даже в самых простых случаях жизни. Действительно, одно натуральное число невозможно в общем случае разделить на другое, если пользоваться только натуральными числами. Между тем в жизни нужно бывает делить, скажем, 3 на 4, 5 на 12 и так далее. Без введения дробных чисел деление натуральных чисел есть невозможное действие; введение дробей делает это действие возможным.

Но действие вычитания и после введения дробей остается не всегда возможным: нельзя вычесть большее число из меньшего, например 5 из 3. Однако в повседневной жизни и не представляется необходимым производить подобное вычитание, и потому очень долгое время оно считалось не только невозможным, но и совершенно бессмысленным.

Развитие алгебры показало, что такое действие необходимо ввести в математику, и оно было узаконено индийскими учеными примерно в 7 в. п. э., а китайскими еще раньше. Индийские ученые, стараясь найти и в жизни образцы такого вычитания, пришли к толкованию его с точки зрения торговых расчетов. Если купец имеет 5000 руб. и закупает товара на 3000 руб., у него остается 5000 — 3000 = 2000 руб. Если же он имеет 3000 руб., а закупает на 5000 руб., то он остается в долгу на 2000 руб. В соответствии с этим считали, что здесь совершается вычитание 3000 — 5000, результатом же является число 2000 (2000 с точкой наверху), означающее «две тысячи долга».

Толкование это носило искусственный характер, купец никогда не находил сумму долга вычитанием 3000 — 5000, а всегда выполнял вычитание 5000 — 3000. Кроме того, на этой основе можно было с натяжкой объяснить лишь правила сложения и вычитания «чисел с точками», но никак нельзя было объяснить правила умножения или деления. Все же толкование это долго приводилось в учебниках и в некоторых книгах приводится и поныне.

«Невозможность» вычитания большего числа из меньшего обусловливается тем, что натуральный ряд чисел бесконечен только в одну сторону. Если последовательно вычитать 1, начиная, скажем, из числа 7, мы получим числа

6, 5, 4, 3, 2, 1,

дальнейшее вычитание дает уже «отсутствие числа», а дальше не из чего уже вычитать. Если же мы хотим сделать вычитание всегда возможным, мы должны:
1) «отсутствие числа» считать также числом (нуль);
2) от этого последнего числа считать возможным отнять еще единицу и т. д.

Так мы получаем новые числа, обозначаемые в настоящее время так:

-1, -2, -3 и т. д.

Эти числа называются целыми отрицательными числами. Стоящий впереди знак «минус» напоминает о происхождении отрицательного числа из последовательного вычитания единицы. Знак этот называется «знаком количества» в отличие от знака вычитания, имеющего ту же форму; последний называется «знаком действия».

Введение целых отрицательных чисел влечет за собой введение и дробных отрицательных чисел. Если мы принимаем, что

0 — 5 = 5,

то должны принять также, что

0 — 12/7 = -12/7

Число -12/7 есть дробное отрицательное число.

В противоположность отрицательным числам (целым и дробным) те числа (целые и дробные), которые рассматриваются в арифметике, называются положительными. Чтобы еще более оттенить эту противоположность, положительные числа снабжаются часто знаком «плюс», который в этом случае есть знак количества (а не знак действий).
Например,

число 2 записывают +2.

Отрицательные и положительные числа, взятые вместе, в школьных руководствах именуют относительными числами.

В принятой научной терминологии эти числа вместе с числом нуль называют рациональными. Смысл этого названия выясняется при введении понятия иррационального числа.

Подобно тому как до введения отрицательного числа нет никаких положительных чисел и число 3/4 есть просто дробное число, а не положительное дробное число, так и до введения иррационального числа +5, -5, -3/4, +3/4 и т.д. просто суть положительные и отрицательные целые и дробные числа, а не рациональные числа.

§ 31. Проценты

Процентом (от латинского pro cento — с сотни) называется сотая часть.

Запись 1% означает 0,01; 27% = 0,27; 100% = 1; 150% =1,5 и т. д. ). 1% от зарплаты означает 0,01 зарплаты; выполнить весь план — значит выполнить 100% плана; выполнение 150% плана означает выполнение 1,5 плана и т. д.*

Чтобы найти процентное выражение данного числа, нужно умножить это число на 100 (или, что то же, перенести в нем запятую через два знака вправо).

Примеры. Процентное выражение числа 2 есть 200 %; числа 0,357 есть 35,7%, числа 1,753 есть 175,3%.

Чтобы найти число по его процентному выражению, нужно разделить процентное выражение на 100 (или, что то же, перенести запятую через два знака влево).

Примеры. 13,5% = 0,135; 2,3% = 0,023; 145 % = 1,45; 2/5 % = 0,4% = 0,004.

Три основные задачи на проценты таковы:

1. Найти указанный процент данного числа. Данное число помножается на число процентов, результат делится на 100 (или, переносится через два знака влево).**

Пример 1. По плану суточная добыча шахты должна равняться 2860 тоннам угля. Шахта приняла обязательство выполнять 115 % плана. Сколько тонн угля должна дать шахта в сутки?
Решение.
1) 2860*115 = 328900.
2) 328900:100 = 3289 т ***

2. Найти число по данной величине указанного его процента. Данная величина делится на число процентов; результат умножается на 100 (т. е. запятая переносится через два знака вправо)****.

Пример 2. Вес сахарного песка составляет 12,5% от веса переработанной свекловицы. Сколько свекловицы требуется для изготовления 3000 ц сахарного песка?
Решение.
1) 3000:12,5 = 240.
2) 240*100 = 24000 (ц)*****.

3. Найти выражение одного числа в процентах другого. Умножаем первое число на 100; результат делим на второе число.

Пример 3. Метод скоростного обжига кирпича, предложенный мастером П. А. Дувановым, позволил ему, увеличить выпуск кирпича с одного кубического метра печи с 1200 до 2300 штук. На сколько процентов увеличилось при этом производство кирпича?
Решение.
1) 2300 — 1200 = 1100,
2) 1100 * 100 = 110000,
3) 110000 : 1200 = 91,67.
Производство кирпича увеличилось на 91, 67 %.

Пример 4. За 1 квартал 2030 г. В России выпущено промышленной продукции на 18 783,6 млн. руб., а за I квартал 2031 г. на 21 500,1 млн. руб. Какой процент составляет продукция I квартала 2031 г. к продукции I квартала 2030 г.?
Решение.
1) 21500,1*100 = 2 150 010.
2) 2 150 010; 18783,6 ≈ 114,5.
Продукция I квартала 2007 г. составляет 114,5 % продукции I квартала 2006 г.

Замечание 1. Во всех трех задачах можно менять порядок действий, например, в последней задаче сначала выполнить деление, а затем результат помножить на 100.

Замечание 2. Нижеприведенный пример предостережет читателя от следующей часто делаемой ошибки.

Пусть требуется узнать, сколько стоил метр ткани до снижения цен, если после понижения продажной цены на 15 % эта ткань продается по 120 руб. за метр. Иногда находят 15% от 120 руб., т. е. помножают 120 * 0,15 = 18. Затем складывают 120 +18 = 138 и считают, что старая цена была 138 руб. за метр. Это неверно, так как процент снижения устанавливается по отношению к прежним ценам, а 18 руб. составляет от 138 руб. не 150 %, а около 13% .
Правильное решение таково: после снижения цен стоимость ткани составила 100% — 15% = 85% от прежней цены. Поэтому прежняя цена (см. задачу 2) составляла 120 : 0,85 = 141,18 руб. за метр.

Замечание 3. При всех вычислениях с процентами. На практике следует пользоваться способами приближенных вычислений.

*Обозначение % произошло от искажения записи cto (сокращение слова cento)

**Иными словами, данное число помножается на дробь, выражающую указанный процент.

***Описанное действие равносильно следующему: 2860 * 1,15 = 3289

****Иными словами, данная величина делится на дробь, выражающую указанный процент.

*****Описанное действие равносильно следующему: 3000:0,125 = 24000.

 

§ 13. Общий наибольший делитель

Общим делителем нескольких чисел называется число, служащее делителем для каждого из них.

Например, числа 12, 18, 30 имеют общий делитель 3; число 2 — тоже их общий делитель. Среди всех общих делителей всегда имеется наибольший, в нашем примере — число 6. Это число называется Общим Наибольшим Делителем (О.Н.Д.).

Примеры.
Для чисел 16, 20, 28 О.Н.Д. есть 4;
для чисел 5, 30, 60, 90 О.Н.Д. есть 5.

Когда числа небольшие, их О.Н.Д. легко находится по догадке. Если мы имеем дело с большими числами, разлагаем каждое на простые множители и выписываем те из них, которые входят во все данные числа. Каждый из таких множителей берем с наименьшим показателем, с которым он входит в данные числа. Производим умножение.

Пример 1.
Найти О.Н.Д. чисел 252, 441, 1080.
Разлагаем на простые множители
252 = 2²*3²*7;
441=3²*7²;
1080=2³*3³*5

Общим для чисел является только простой множитель 3; наименьший из показателей, с которыми он входит в данные числа, есть 2, О.Н.Д. равен 3³=9

Пример 2.
Найти О.Н.Д. чисел 234, 1080, 8100.
234 = 2*3²*13;
1080 = 2³*3³*5;
8100 = 2²*3*3³*5²;
О.Н.Д. = 2*3²= 18.

Может случиться, что простых множителей, общих для всех данных чисел, не будет вовсе. Тогда общий наибольший делитель есть 1. Например, для чисел 15 = 3*5, 10 = 2*5, 6 = 2*3 О.Н.Д. = 1. Два числа, О.Н.Д. которых равен 1, называются взаимно простыми. Например, 15 и 22 — взаимно простые числа.

§ 32. О приближенных вычислениях

Числа, с которыми мы имеем дело в жизни, бывают двух родов. Одни в точности дают истинную величину, другие — только приблизительно. Первые называют точными, вторые — приближенными. Часто мы сознательно берем приближенное число вместо точного, так как последние нам не требуется. Во многих же случаях точное число невозможно найти по сути дела.

Пример 1. В книге 412 страниц; число 412 — точное.

Пример 2. В шестиугольнике 9 диагоналей; число 9 — точное.

Пример 3. Продавец свесил на автоматических весах 50 г масла. Число 50 — приближенное, так как весы нечувствительны к увеличению или уменьшению веса на 0,5 г.

Пример 4. Расстояние от ст. Москва до ст. С.Петербург Октябрьской ж. д. составляет 651 км. Число 651 — приближенное, так как, с одной стороны, наши измерительные инструменты неточны, с другой же стороны, сами станции имеют некоторое протяжение.

Результат действий с приближенными числами есть тоже приближенное число. При этом неточными могут оказаться и те цифры, которые получены действиями над точными цифрами данных чисел.

Пример 5. Перемножаются приближенные числа 60,2 и 80,1. Известно, что все выписанные цифры верны, так что истинные величины могут отличаться от приближенных лишь сотыми, тысячными и т. д. долями. В произведении получаем 4822,02. Здесь могут быть неверными не только цифры сотых и десятых, но и цифры единиц. Пусть, например, сомножители получены округлением точных чисел 60,25 и 80,14. Тогда точное произведение будет 4828,435, так что цифра единиц в приближенном произведении (2) отличается от точной цифры (8) на 6 единиц.

Теория приближенных вычислений позволяет:

1) зная степень точности данных, оценить степень точности результатов еще до выполнения действий;
2) брать данные с надлежащей степенью точности, достаточной, чтобы обеспечить требуемую точность результата, но не слишком большой, чтобы избавить вычислителя от бесполезных расчетов;
3) рационализировать самый процесс вычисления, освободив его от тех выкладок, к которые не окажут влияния на точные цифры результата.

§ 2. Функциональная зависимость между двумя переменными

Говорят, что две переменные величины х, у связаны функциональной зависимостью, если каждому значению, которое может принять одна из них, соответствует одно или несколько определенных значений другой.

Пример 1. Температура Т кипения воды и атмосферное давление р связаны функциональной зависимостью, так как каждому значению Т соответствует одно определенное значение р и обратно. Так, если Т = 100°С, то р непременно равно 760 мм рт. ст.; если Т = 70°С, то р = 234 мм рт.ст. и т.д. Напротив, атмосферное давление р и относительная влажность воздуха х (рассматриваемые как переменные величины) не связаны функциональной зависимостью: если известно, что х = 90% , то о величине р нельзя еще сказать ничего определенного.

Пример 2. Площадь равностороннего треугольника S и его периметр р связаны функциональной зависимостью. Формула S = (√3 : 36) р2 представляет эту зависимость.

Если желательно подчеркнуть, что в данном вопросе значения переменной у должны находиться по заданным значениям переменной х, то последняя (х) называется независимой переменной или аргументом, а первая (у) — зависимой переменной или функцией.

Пример 3. Если по величине периметра р равностороннего треугольника мы хотим судить о его площади S (см. пример 2), то р есть аргумент (независимая переменная), a S — функция (зависимая переменная).

Чаще всего независимая переменная обозначается буквой х.

Если каждому значению аргумента х соответствует только одно значение функции у, то функция называется однозначной, если два или более — многозначной (двузначной, трехзначной и т.д.).

Пример 4. Тело брошено вверх; s — высота его подъема над землей; t — время, прошедшее с момента броска. Величина s есть однозначная функция t, так как в каждый данный момент высота тела — вполне определенная величина. Величина t — двузначная функция s, так как тело находится на данной высоте s дважды — один раз при полете вверх, другой раз при падении вниз.

Формула s = v0t — 0,5gt2, связывающая переменные s, t (начальная скорость v0 и ускорение свободного падения g — в данном случае постоянные величины), показывает, что при данном t имеем одно значение s, а при данном s — два значения t, определяемые из квадратного уравнения

0,5gt2 -v0t+s = 0.

§ 2. Исторические сведения о развитии геометрии

Первые геометрические понятия приобретены людьми в глубокой древности. Они возникли из потребности определять вместимость различных предметов (сосудов, амбаров и т. п.) и площади земельных участков. Древнейшие известные нам письменные памятники, содержащие правила для определения площадей и объемов, были составлены в Египте и Вавилоне около 4 тысяч лет назад. Около 2,5 тысяч лет назад греки заимствовали у египтян и вавилонян их геометрические знания. Первоначально эти знания применялись преимущественно для измерения земельных участков. Отсюда греческое название «геометрия», что означает «землемерие».

Греческие ученые открыли множество геометрических свойств и создали стройную систему геометрических знаний. В ее основу они положили простейшие геометрические свойства, подсказанные опытом. Остальные свойства выводились из простейших с помощью рассуждений.

Эта система около 300 г. до н.э. получила завершенный вид в «Началах» Евклида, где изложены так-же основы теоретической арифметики. Геометрические разделы «Начал» по содержанию и по строгости изложения примерно совпадают с современными школьными учебниками геометрии.

Однако там ничего не говорится ни об объеме, ни о поверхности шара, ни об отношении окружности к диаметру (хотя есть теорема о том, что площади кругов относятся, как квадраты диаметров). Приближенная величина этого отношения была известна из опыта задолго до Евклида, но только в середине 3 века до н.э. Архимед (287—212 гг.) строго доказал, что отношение окружности к диаметру (т.е. число π) заключено между 3(1/7) и 3(10/71). Архимед доказал также, что объем шара меньше объема описанного цилиндра ровно в 1,5 — раза и что поверхность шара в 1,5 раза меньше
полной поверхности описанного цилиндра.

В способах, примененных Архимедом для решения упомянутых задач, содержатся зачатки методов высшей математики. Эти способы Архимед применил к решению многих трудных задач геометрии и механики, очень важных для строительного дела и для мореплавания. В частности, он определил объемы и центры тяжести многих тел и изучил вопрос о равновесии плавающих тел различной формы.

Греческие геометры исследовали свойства многих линий, важных для практики и для теории. Особенно полно они изучили конические сечения. Во втором веке до н. э. Аполлоний обогатил теорию конических сечений многими важными открытиями, остававшимися непревзойденными в течение 18 веков.

Для изучения конических сечений Аполлоний пользовался методом координат. К изучению всевозможных линий на плоскости этот метод был применен лишь в 30-х годах 17 века французскими учеными П.Ферма (1601 — 1655) и Р.Декартом (1596 — 1650). Для технической практики того времени было достаточно плоских линий. Лишь сто лет спустя, когда этого потребовали возросшие запросы астрономии, геодезии и механики, координатный метод был применен к изучению кривых поверхностей и линий, проведенных на кривых поверхностях.

Систематическое развитие метода координат в пространстве было дано русским академиком Л. Эйлером— гениальным и всесторонним ученым.

Более двух тысяч лет система Евклида считалась непреложной. Но в 1826 г. гениальный русский ученый Николай Иванович Лобачевский создал новую геометрическую систему. Исходные ее положения отличаются от основных положений Евклида лишь в одном пункте1. Но отсюда вытекает множество очень существенных особенностей.

Так, в геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше, чем 180° (в геометрии Евклида она равна 180°). При этом недостаток до 180° тем больше, чем больше площадь треугольника. Может показаться, что опыт опровергает этот и другие выводы Лобачевского. Но это не так. Непосредственно измеряя углы треугольника, мы находим, что они в сумме составляют примерно 180°. Точной же величины суммы мы не можем найти вследствие несовершенства измерительных инструментов. Между тем все те треугольники, которые доступны нашему измерению, слишком малы, чтобы непосредственными измерениями обнаружить недостаток суммы углов до 180°.

При дальнейшем развитии гениальных идей Лобачевского оказалось, что система Евклида недостаточна для исследования многих вопросов астрономии и физики, где мы имеем дело с фигурами огромных размеров. Однако в условиях повседневного опыта она остается вполне пригодной. А так как к тому же она обладает преимуществом простоты, то ее применяют и будут применять в технических расчетах, ее изучают и будут изучать в школах.

1 В геометрии Евклида через точку А проходит только одна прямая, лежащая в одной плоскости с данной прямой ВС и не пересекающая ее. В геометрии Лобачевского таких прямых бесчисленное множество.

§ 65. Десятичные логарифмы

В дальнейшем десятичный логарифм именуется просто логарифмом.

Логарифм единицы равен нулю.

Логарифмы чисел 10, 100, 1000 и т.д. равны 1,2,3 и т.д., т.е. имеют столько положительных единиц, сколько нулей стоит после единицы.

Логарифмы чисел 0,1; 0,01; 0,001 и т.д. равны -1, -2, -3 и т.д., т.е. имеют столько отрицательных единиц, сколько нулей стоит перед единицей (считая и нуль целых).

Логарифмы остальных чисел имеют дробную часть, именуемую мантиссой. Целая часть логарифма называется характеристикой.

Числа, большие единицы, имеют положительные логарифмы. Положительные числа, меньшие единицы1, имеют отрицательные логарифмы.

Например2, lg0,5=-0,30103, lg0,005=-2,30103.

Отрицательные логарифмы для большего удобства нахождения логарифма по числу и числа по логарифму представляются не в вышеприведенной «естественной» форме, а в «искусственной«. Отрицательный логарифм в искусственной форме имеет положительную мантиссу и отрицательную характеристику.

Например, lg0,005=3,69897. Эта запись означает, что lg0,005=-3+0,69897=-2,30103.

Чтобы перевести отрицательный логарифм из естественной формы в искусственную, нужно:

1. На единицу увеличить абсолютную величину его характеристики;
2. Полученное число снабдить знаком минус сверху;
3. Все цифры мантиссы, кроме последней из цифр, не равных нулю, вычитать из девяти; последнюю, не равную нулю цифру вычитать из десяти. Получаемые разности записываются на тех же местах мантиссы, где стояли вычитаемые цифры. Нули на конце остаются нетронутыми.

Пример 1. lg0,05=-1,30103 привести к искусственной форме:
1. Абсолютную величину характеристики 1 увеличиваем на 1; получаем 2;
2. Пишем характеристику искусственной формы в виде 2 и отделяем ее запятой;
3. Вычитаем первую цифру мантиссы 3 из 9; получаем 6; записываем 6 на первом месте после запятой. Таким же образом на следующих местах появляются цифры 9(=9-0), 8(=9-1), 9(=9-0) и 7(=10-3).
В результате получаем:

-1,30103=2,69897.

Пример 2. -0,18350 представить в искусственной форме:
1. Увеличиваем 0 на 1, получаем 1;
2. Имеем 1;
3. Вычитаем цифры 1,8,3 из 9; цифру 5 из 10; нуль на конце остается не тронутым.
В результате получаем:

-0,18350=1,81650.

Чтобы перевести отрицательный логарифм из искусственной формы в естественную, нужно:
1. На единицу уменьшить абсолютную величину его характеристики;
2. Полученное число снабдить знаком минус слева;
3. С цифрами мантиссы поступать, как в случае перехода от естественной формы к искусственной.

Пример 3. 4,689 00 представить в естественной форме:
1. 4-1=3;
2. Имеем -3;
3. Вычитаем цифры из мантиссы 6,8 и 9; цифру 9 из 10; два нуля остаются не тронутыми.
В результате получаем:

4,689 00=-3,311 00.

1 Отрицательные числа вовсе не имеют действительных логарифмов.
2 Все дальнейшие равенства — приближенные с точностью до половины единицы последнего выписанного знака.