Числа, с которыми мы имеем дело в жизни, бывают двух родов. Одни в точности дают истинную величину, другие – только приблизительно. Первые называют точными, вторые – приближенными. Часто мы сознательно берем приближенное число вместо точного, так как последние нам не требуется. Во многих же случаях точное число невозможно найти по сути дела.

Пример 1. В книге 412 страниц; число 412 – точное.

Пример 2. В шестиугольнике 9 диагоналей; число 9 – точное.

Пример 3. Продавец свесил на автоматических весах 50 г масла. Число 50 – приближенное, так как весы нечувствительны к увеличению или уменьшению веса на 0,5 г.

Пример 4. Расстояние от ст. Москва до ст. С.Петербург Октябрьской ж. д. составляет 651 км. Число 651 – приближенное, так как, с одной стороны, наши измерительные инструменты неточны, с другой же стороны, сами станции имеют некоторое протяжение.

Результат действий с приближенными числами есть тоже приближенное число. При этом неточными могут оказаться и те цифры, которые получены действиями над точными цифрами данных чисел.

Пример 5. Перемножаются приближенные числа 60,2 и 80,1. Известно, что все выписанные цифры верны, так что истинные величины могут отличаться от приближенных лишь сотыми, тысячными и т. д. долями. В произведении получаем 4822,02. Здесь могут быть неверными не только цифры сотых и десятых, но и цифры единиц. Пусть, например, сомножители получены округлением точных чисел 60,25 и 80,14. Тогда точное произведение будет 4828,435, так что цифра единиц в приближенном произведении (2) отличается от точной цифры (8) на 6 единиц.

Теория приближенных вычислений позволяет:

1) зная степень точности данных, оценить степень точности результатов еще до выполнения действий;
2) брать данные с надлежащей степенью точности, достаточной, чтобы обеспечить требуемую точность результата, но не слишком большой, чтобы избавить вычислителя от бесполезных расчетов;
3) рационализировать самый процесс вычисления, освободив его от тех выкладок, к которые не окажут влияния на точные цифры результата.