§ 12. Предел

Постоянная величина а называется пределом переменной величины х, если эта переменная при своем измерении неограниченно приближается к а*.

Существенно иметь в виду, что при рассмотрении самой по себе взятой переменной величины не может быть речи о нахождении ее предела. Если же рассматриваются две переменные величины и одна есть функция другой, то для одной из них (аргумента) можно задать предел, а для другой — искать его (если он существует).

Пример 1. Переменные х, у связаны зависимостью у=(x2-4)/(x-2); наити предел у, когда х имеет пределом число 6.

Будем неограниченно приближать переменную х к числу 6 каким-либо способом; например, будем давать х значения 6,1; 6,01; 6,001 и т.д.; мы найдем для у значения 8,1; 8,01, 8,001 и т.д.; эти значения неограниченно приближаются к числу 8. То же окажется, если х неограниченно приближать к числу 6 любым другим способом, например полагать х = 5,9; 6,01; 5,999; 6,0001 и т.д. Поэтому, когда х имеет пределом 6, у имеет пределом 8.
Запись:

lim y=8
x→6

или

lim (x2-4)/(x-2)=8
x→6

Обозначение lim представляет сокращение французского слова limite (лимит), означающего «предел». Полученный результат в данном случае мы могли бы найти, подставив x=6 в выражении y=(x2-4)/(x-2). В следующем примере этот способ не приводит к успеху.

Пример 2. Дано y=(x2-4)/(x-2). Найти lim y. Подставив х=2 в выражение (x2-4)/(x-2), найдем неопределенное выражение 0/0 (II, §23). Между тем вычисления, подобные проделанным в примере 1, покажут, что

Этот результат можно было бы получить и так:
имеем

Добавить комментарий