Архив рубрики: Функции и графики

Справочник функций и графиков. Выгодский М.Я.

§ 4. Изображение функции формулой и таблицей

Многие функциональные зависимости могут быть (точно или приближенно) представлены простыми формулами. Например, зависимость между площадью круга S и радиусом r представляется формулой S=πr2; зависимость между высотой s брошенного тела и временем t, прошедшим с момента броска, — формулой s=v0t — 0,5gt2; последняя по существу — приближенная формула, так как она не учитывает ни сопротивления воздуха, ни ослабления силы тяжести с увеличением высоты.

Часто функциональную зависимость не удается представить в виде формулы или, если удается, формула оказывается неудобной для вычислений. В этих случаях пользуются другими способами, чаще всего табличным и графическим (см. §7).

Пример. Функциональную зависимость между давлением р и температурой кипения воды Т (см. §2, пример 1) не удается представить одной формулой, которая с нужной степенью точности охватывала бы все практически важные случаи. Эта зависимость представляется таблицей, выдержка из которой имеет вид:

р, мм 300 350 400 450 500 550 600 650 700
Т° С 75,8 79,6 83,0 85,8 88,5 91,2 93,5 95,7 97,6

Для удобства вычислений значения одной переменной большей частью берутся через равные промежутки; эта переменная называется аргументом таблицы.

Всех значений аргумента никакая таблица, конечно, не может содержать, но практически пригодная таблица должна содержать столько значений аргумента, чтобы для остальных значение функции можно было бы получить с нужной степенью точности при помощи интерполяции (см. раздел Арифметика, §49).

§ 6. Координаты

Две взаимно перпендикулярные прямые X’X и У’У (рис. 1) образуют прямоугольную систему координат. Прямые X’X и У’У называются осями координату X одна из них X’X (обычно изображаемая горизонтально) называется осью абсцисс; другая У’Уосью ординат; точка О их пересечения — началом координат. На каждой из осей произвольно выбирается масштаб.

Координаты. Система координат. Ось абсцисс и ординат

рис.1

Взяв произвольную точку М на плоскости, в которой расположены оси, найдем ее проекции Р и Q на координатные оси. Отрезок ОР на оси абсцисс, а также число х, измеряющее его в избранном масштабе, называется абсциссой точки М; отрезок OQ на оси ординат, а также измеряющее его число у — ординатой точки М. Величины х = ОР и у = OQ называют прямоугольными координатами (или просто координатами) точки М. Они считаются положительными или отрицательными в соответствии с заранее устанавливаемыми направлениями положительных отрезков на каждой из осей (обычно на оси абсцисс положительные отрезки откладываются вправо, а на оси ординат вверх).

На рис. 1 (где масштабы на обеих осях одинаковы) точка М имеет абсциссу х = 3 и ординату у = 2; точка М1 — абсциссу х1 = -2 и ординату у1 = 1. Сокращенно это записывается так: М(3; 2); М1(-2; 1). Точно так же М2(- 1,5; -3).

Каждой точке плоскости соответствует одна пара чисел х, у. Каждой паре (действительных) чисел х, у соответствует одна точка М. Прямоугольная система координат часто называется декартовой по имени французского философа и математика Р. Декарта, широко применившего координаты к исследованию многих геометрических вопросов. Это название однако неправильно.

Декарт пользовался не двумя осями, а одной, на которой откладывались абсциссы; ординаты определялись как расстояния точек плоскости от оси абсцисс; эти расстояния Декарт отсчитывал по любому заранее выбранному направлению, а не обязательно по перпендикуляру. Как абсциссы, так и ординаты у Декарта были всегда величинами положительными независимо от направления соответствующих отрезков. В большинстве учебников различение направлений на осях знаками + и — ошибочно приписывается Декарту, тогда как оно было введено лишь его учениками.

§ 12. Предел

Постоянная величина а называется пределом переменной величины х, если эта переменная при своем измерении неограниченно приближается к а*.

Существенно иметь в виду, что при рассмотрении самой по себе взятой переменной величины не может быть речи о нахождении ее предела. Если же рассматриваются две переменные величины и одна есть функция другой, то для одной из них (аргумента) можно задать предел, а для другой — искать его (если он существует).

Пример 1. Переменные х, у связаны зависимостью у=(x2-4)/(x-2); наити предел у, когда х имеет пределом число 6.

Будем неограниченно приближать переменную х к числу 6 каким-либо способом; например, будем давать х значения 6,1; 6,01; 6,001 и т.д.; мы найдем для у значения 8,1; 8,01, 8,001 и т.д.; эти значения неограниченно приближаются к числу 8. То же окажется, если х неограниченно приближать к числу 6 любым другим способом, например полагать х = 5,9; 6,01; 5,999; 6,0001 и т.д. Поэтому, когда х имеет пределом 6, у имеет пределом 8.
Запись:

lim y=8
x→6

или

lim (x2-4)/(x-2)=8
x→6

Обозначение lim представляет сокращение французского слова limite (лимит), означающего «предел». Полученный результат в данном случае мы могли бы найти, подставив x=6 в выражении y=(x2-4)/(x-2). В следующем примере этот способ не приводит к успеху.

Пример 2. Дано y=(x2-4)/(x-2). Найти lim y. Подставив х=2 в выражение (x2-4)/(x-2), найдем неопределенное выражение 0/0 (II, §23). Между тем вычисления, подобные проделанным в примере 1, покажут, что

Этот результат можно было бы получить и так:
имеем

§ 3. Обратная функция

Для характеристики функции совершенно не существенно, какой буквой обозначается сама функция и ее аргумент; так, если имеем у=х2 и u=v2, то у есть такая же функция х, как и функция v; иначе говоря, х2 и v — это одна и та же функция, хотя аргумент ее обозначен неодинаково.

Если в данной функциональной зависимости аргумент и функцию поменять ролями, мы получаем новую функцию, называемую обратной по отношению к исходной.

Пример 1. Пусть имеем функцию и аргумента v

u=v2

Если поменять ролями аргумент и функцию, величина v будет функцией u и представится формулой v=√u . Если аргумент в обоих случаях обозначить одной и той же буквой х, то исходная функция есть х2, а обратная ей √x.

Пример 2. Функцией, обратной sin х, является arcsin х. Действительно, если у=sin х, то х=arcsin у (V, §24).

О графике обратной функции см.§8, п.7.

§ 1. Постоянные и переменные величины

Применение математики к изучению законов природы и к использованию их в технике заставило ввести в математику понятие переменной величины и, в противоположность ей, понятие постоянной величины. Переменная величина — это такая величина, которая в условиях данного вопроса может принимать различные значения. Постоянная величина в условиях данного вопроса сохраняет неизменное значение. Одна и та же величина в одном вопросе может быть постоянной, в другом — переменной величиной.

Пример. Температура Т кипения воды в большинстве физических вопросов есть величина постоянная (Т = 100 °С). Однако в тех вопросах, где нужно считаться с изменением атмосферного давления, Т есть величина переменная.

Различение постоянных и переменных величин особенно часто применяется в высшей математике; в элементарной математике основную роль играет разделение величин на известные и неизвестные. Последнее сохраняется и в высшей математике, но не играет там основной роли.

Чаще всего переменные величины обозначаются последними буквами латинского алфавита х, у, z,…, а постоянные — первыми а, Ь, с, … .