Архив метки: неравенства

§ 58. Неравенства второй степени с одним неизвестным (общий случай)

Разделив неравенства второй степени на коэффициент при x2, мы приведем его к одному из видов

x2+px+q < 0,              (1)
x2+px+q > 0,              (2)

Перенесем свободный член в правую часть и прибавим к обеим частям (p/2)2. Получим соответственно

(x+(p/2))2 < (p/2)2-q,               (1a)
(x+(p/2))2 > (p/2)2-q.               (2a)

Если обозначить x+(p/2) через z, а (p/2)2-q через m, то мы получим простейшие неравенства

z2 < m, (1b)
z2 > m. (2b)

Решение этих неравенств было дано в предыдущем параграфе. Зная его, найдем решение неравенства (1) или (2).

Пример 1. Решить неравенство -2x2+14x-20 > 0. Разделив обе части на -2 (§ 53, п.3), найдем x2-7x+10 < 0. Перенеся свободный член 10 вправо и прибавим к обеим частям (7/2)2, получим (x-(7/2))2 < 9/4. Отсюда (§ 57, п.1)

-(3/2) < x-(7/2) < 3/2.

Прибавляя 7/2, находим -(3/2)+(7/2) < x < (3/2)+(7/2), т.е.

2 < x < 5.

Пример 2. Решить неравенство —2x2+14x-20 < 0. Выполнив те же преобразования, получим неравенство (x-(7/2))2 > 9/4. Отсюда (§ 57, п.2) находим, что наше неравенство справедливо, во-первых, при x-(7/2) > 3/2, т.е. при x > 5, и, во-вторых, при x-(7/2) < -3/2, т.е. при x < 2.

Пример 3. Решить неравенство x2+6x+15 < 0. Перенося свободный член вправо и прибавляя к обеим частям (6/2)2, т.е. 9, найдем (x+3)2 < -6. Это неравенство (§ 57, п.1) не имеет решений. Значит, не имеет решений и данное неравенство.

Пример 4. Решить неравенство x2+6x+15 > 0. Как в примере 3, найдем (x+3)2 > -6. Это неравенство (§ 57, п.2) тождественное. Значит, и данное неравенство тождественное.

§ 57. Простейшие неравенства второй степени с одним неизвестным

1. Неравенства x2 < m. (1)
Если m > 0, то решение есть

-√m < x < √m. (1a)

Если m ≤ 0, то решения нет (квадрат действительного числа не может быть отрицательным).

2. Неравенство x2 > m. (2)
Если m > 0, то неравенство (2) справедливо, во-первых, при всех значениях x, больших чем √m, и, во-вторых, при всех значениях x, меньших чем -√m.

x > √m или x < -√m (2a)

Если m=0, то неравенство (2) справедливо при все x, кроме x=0;

x > 0 или x < 0. (2б)

Если m < 0, то неравенство (2) тождественное.

Пример 1. Неравенство x2 < 9 имеет решение -3 < x < 3.

Пример 2. Неравенство x2 < -9 не имеет решений.

Пример 3. Неравенство x2 > 9 имеет решением совокупность всех чисел , больших чем 3, и всех чисел, меньших чем -3.

Пример 4. Неравенство x2 > -9 тождественно.

§ 55. Неравенство первой степени с одним неизвестным

Неравенство первой степени с одним неизвестным можно привести к виду
ax > b
Решением будет:
x > (b/a), если a > 0,
и
x < (b/a), если a < 0.

Пример 1. Решить неравенство 5х-3 > 8x+1.
Решение. 5х-8х > 3+1;
                   -3x > 4;
                   x < (-4/3).

Пример 2. Решить неравенство 5x + 2 < 7x+6.
Решение. 5x-7x < 6-2;
                   -2x < 4;
                   x > -2.

Пример 3. Решить неравенство (x-1)2 < x2+8.
Решение. x2+2x+ 1 < x2+8;
                   -2x < 7;
                   x > (-7/2).

Замечание. Неравенство вида ax+b > a1x+b1 есть неравенство первой степени, если а и а1 не равны. В противном случае это неравенство приводится к числовому (верному или неверному).

Пример 1. Дано неравенство 2(3х-5) < 3(2x-1)+5. Оно равносильно неравенству 6x-10 < 6x+2, а последнее приводится к числовому (тождественному) -10 < 2. Значит, исходное неравенство — тождественное.

Пример 2. Неравенство 2(3х-5) > 3(2x-1)+5 приводится к бессмысленному числовому неравенству -10 > 2. Значит, исходное неравенство не имеет решений.

§ 54. Классификация неравенств

Неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются на алгебраические и трансцендентные; алгебраические неравенства подразделяются на неравенства первой, второй и т.д. степени. Эта классификация производится так же, как и для уравнений (§ 19).

Пример 1. Неравенства 3x2-2x+5  > 3x(x-2) алгебраическое, второй степени.

Пример 2. Неравенство 2x > x+4 трансцендентное.

Пример 3. Неравенство 3x2-2x+5 > 3x(x-2) алгебраическое, первой степени, потому что оно приводится к неравенству 4x+5 > 0.

§ 53. Равносильные неравенства. Основные приемы решения неравенств

Два неравенства, содержащие одни и те же неизвестные, называются равносильными, если они верны при одних и тех же значениях этих неизвестных.

Так же определяется равносильность двух систем неравенств.

Пример 1. Неравенства 3х+1 > 2x+4 и 3x > 2x+3 равносильны, так как оба верны при x > 3 и оба неверны, когда x ≤ 3

Пример 2. Неравенства 2x ≤ 6 и x≤ 9 не равносильны, так как решение первого есть x ≤ 3, а решение второго -3x ≤ x ≤ 3, так что, например x = -4 первое верно, а второе неверно.

Процесс решения неравенства заключается в основном в замене данного неравенства (или данной системы неравенств) другими равносильными1. При решении неравенств применяются следующие основные приемы (ср. § 18).

1. Замена одного выражения другим, тождественно ему равным.
2. Перенос слагаемого из одной части неравенства в другую с заменой знака на противоположный (в силу § 50, п.3).
3. Умножение или деление обеих частей неравенства на одну и ту же числовую величину (не равную нулю). При этом если множитель положителен, то знак неравенства остается тем же, если же отрицателен, то знак неравенства меняется на противоположный (§ 50, п.6).

Каждое их этих преобразований дает неравенство, равносильное исходному.

Пример. Дано неравенство (2x-3)< 4x2+2. Заменяем левую часть тождественно равным выражением 4x2-12x+9. Получаем 4x2-12x+9 < 4x2+2. Переносим из правой части член 4x2 в левую, а из левой части член 9 в правую часть. После приведения подобных членов получаем -12x(7/12).

Умножать (а также делить) неравенство на нуль нельзя. Умножая или деля обе части неравенства на буквенные выражения, мы получаем неравенство, которое, как правило, не равносильно исходному.

Пример. Дано неравенство (x-2)x < x-2. Если разделить обе его части на x-2, то получим x < 1. Но это неравенство не равносильно исходному, так как, например, значение x=0 не удовлетворяет неравенству (x-2)x < x-2. Неравенство x < 1 тоже не равносильно исходному, так как, например, значение x=3 неравенству (x-2)x

§ 51. Общие сведения о неравенствах

Два выражения, числовые или буквенные, соединенные знаком «больше» (>) или знаком «меньше» (<), образуют неравенство (числовое или буквенное).

Всякое верное числовое неравенство, а также всякое буквенное неравенство, справедливое при всех числовых действительных значениях входящих в него букв, называется тождественным.

Пример 1. Числовое неравенство 2*3 — 5 < 8 - 5 (оно верно!) есть тождественное неравенство.

Пример 2. Буквенное неравенство a2 > — 2 тождественно, так как при всяком числовом (действительном) значении а величина a2 положительна или равна нулю и, значит, всегда больше, чем — 2.

Два выражения соединяются также знаками («меньше и или равно») и («больше или равно»). Так, запись 2а ≥ 3b означает, что величина либо больше величины 3b, либо равна ей. Такие записи также именуются неравенствами.

Буквенные величины, входящие в неравенство, могут подразделяться на известные и неизвестные. Какие из букв представляют известные, а какие неизвестные величины, должно быть отдельно указано. Обычно для этого неизвестные величины обозначаются последними буквами латинского алфавита х, у, v, υ и т. д.

Решить неравенство — значит указать границы, в которых должны заключаться (действительные) значения неизвестныx величин, чтобы неравенство было верным.

Если дано несколько неравенств, то решить систему этих неравенств — значит указать границы, в которых должны заключаться значения неизвестных величин, чтобы все данные неравенства были верными.

Пример 3. Решить неравенство х2 < 4. Это неравенство верно, если |х| < 2, т. е. если х заключено в границах между — 2 и + 2. Решение имеет вид: — 2 < х < 2.

Пример 4. Решить неравенство 2х > 8. Решение имеет вид х > 4. Здесь х ограничено только с одной стороны.

Пример 5. Неравенство (х — 2) (х — 3) > 0 верно, если х > 3 (тогда оба сомножителя (х — 2), (х — 3) положительны), а также при х < 2 (тогда оба сомножителя отрицательны), в неверно, когда х заключено в границах между 2 и 3 (а также при х = 2 и при х = 3). Поэтому решение представляется двумя неравенствами:
х>3; х<2.

Пример 6. Неравенство х2 < - 2 не имеет решений (ср. пример 2).

§ 50. Основные свойства неравенств

1. Если a > b, то b < a; наоборот, если а < b, то b > a.

Пример. Если 5х – 1 > 2x + 1, то 2х +1< 5x — 1.

2. Если a > b и b > с, то а > с. Точно так же, а < b и b < с, то a < с.

Пример. Из неравенств x > 2у, 2y > 10 следует, что x >10.

3. Если a > b, то a + c > b + с и a – c > b — c. Если же а < b, то а + с<b+c и a — c<b — c, т.е. к обеим частям неравенства можно прибавить (или вычесть) одну и ту же величину

Пример 1. Дано неравенство х + 8>3. Вычитая из обеих частей неравенства число 8, находим х > — 5.

Пример 2. Дано неравенство х – 6 < — 2. Прибавляя обеим частям 6, находим х < 4.

4. Если a > b и с > d, то a + c >b + d; точно так же если а < b и с < d, то a + с < b + d, т. е. два неравенства одинакового смысла ) можно почленно складывать. Это справедливо и для любого числа неравенств, например, если a1 > b1, a2 > b2, a3 > b3, то a1 + a2 + a3 > b1+b2 +b3.

Пример 1. Неравенства — 8 > — 10 и 5 > 2 верны. Складывая их почленно, находим верное неравенство — 3 > — 8.

Пример 2. Дана система неравенств (1/2)х + (1/2)у < 18; (1/2)х — (1/2)у < 4. Складывая их почленно, находим x < 22.

Замечание. Два неравенства одинакового смысла нельзя почленно вычитать друг из друга, так как результат может быть верным, но может быть и неверным. Например, если из неравенства 10 > 8 почленно вычесть неравенство 2 > 1, то получим верное неравенство 8 > 7 но если из того же неравенства 10 > 8 почленно вычесть неравенство 6 > 1, то получим нелепость. Сравнить следующий пункт.

5. Если a > b и c < d, то а – с > b – d; если а < b и с — d, то а — с < b — d, т. е. из одного неравенства можно почленно вычесть другое неравенство противоположного смысла ), оставляя знак того неравенства, из которого вычиталось другое.

Пример 1. Неравенства 12 < 20 и 15 > 7 верны. Вычитая почленно второе из первого и оставляя знак первого, получаем верное неравенство — 3 < 13. Вычитая почленно первое из второго и оставляя знак второго, находим верное неравенство 3 > — 13.

Пример 2. Дана система неравенств (1/2)х + (1/2)у < 18; (1/2)х — (1/2)у > 8. Вычитая из первого неравенства второе, находим y < 10.

6. Если а > b и m — положительное число, то ma > mb и a/n > b/n, т. е. обе части неравенства можно разделить или умножить на одно и то же положительное число (знак неравенства остается тем же).Если же a > b и n — отрицательное число, то na < nb и a/n < b/n, т. е. обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, но при том знак неравенства нужно изменить на противоположный.

Пример 1. Разделив обе части верного неравенства 25 > 20 на 5, получим верное неравенство 5 > 4. Если же мы делим обе части неравенства 25 > 20 на — 5, то нужно переменить знак > на < , и тогда получим верное неравенство — 5 < — 4.

Пример 2. Из неравенства 2х < 12 следует, что х < 6.

Пример 3. Из неравенства -(1/3)х — (1/3)х > 4 следует, что x < — 12.

Пример 4. Дано неравенство х/к > у/l; из него следует, что lx > ky, если знаки чисел l и k одинаковы, и что lx < ky, если знаки чисел l и k противоположны.