1. Если a > b, то b < a; наоборот, если а < b, то b > a.

Пример. Если 5х – 1 > 2x + 1, то 2х +1< 5x – 1.

2. Если a > b и b > с, то а > с. Точно так же, а < b и b < с, то a < с.

Пример. Из неравенств x > 2у, 2y > 10 следует, что x >10.

3. Если a > b, то a + c > b + с и a – c > b – c. Если же а < b, то а + с<b+c и a – c<b – c, т.е. к обеим частям неравенства можно прибавить (или вычесть) одну и ту же величину

Пример 1. Дано неравенство х + 8>3. Вычитая из обеих частей неравенства число 8, находим х > – 5.

Пример 2. Дано неравенство х – 6 < – 2. Прибавляя обеим частям 6, находим х < 4.

4. Если a > b и с > d, то a + c >b + d; точно так же если а < b и с < d, то a + с < b + d, т. е. два неравенства одинакового смысла ) можно почленно складывать. Это справедливо и для любого числа неравенств, например, если a1 > b1, a2 > b2, a3 > b3, то a1 + a2 + a3 > b1+b2 +b3.

Пример 1. Неравенства – 8 > – 10 и 5 > 2 верны. Складывая их почленно, находим верное неравенство – 3 > – 8.

Пример 2. Дана система неравенств (1/2)х + (1/2)у < 18; (1/2)х – (1/2)у < 4. Складывая их почленно, находим x < 22.

Замечание. Два неравенства одинакового смысла нельзя почленно вычитать друг из друга, так как результат может быть верным, но может быть и неверным. Например, если из неравенства 10 > 8 почленно вычесть неравенство 2 > 1, то получим верное неравенство 8 > 7 но если из того же неравенства 10 > 8 почленно вычесть неравенство 6 > 1, то получим нелепость. Сравнить следующий пункт.

5. Если a > b и c < d, то а – с > b – d; если а < b и с – d, то а – с < b – d, т. е. из одного неравенства можно почленно вычесть другое неравенство противоположного смысла ), оставляя знак того неравенства, из которого вычиталось другое.

Пример 1. Неравенства 12 < 20 и 15 > 7 верны. Вычитая почленно второе из первого и оставляя знак первого, получаем верное неравенство – 3 < 13. Вычитая почленно первое из второго и оставляя знак второго, находим верное неравенство 3 > – 13.

Пример 2. Дана система неравенств (1/2)х + (1/2)у < 18; (1/2)х – (1/2)у > 8. Вычитая из первого неравенства второе, находим y < 10.

6. Если а > b и m — положительное число, то ma > mb и a/n > b/n, т. е. обе части неравенства можно разделить или умножить на одно и то же положительное число (знак неравенства остается тем же).Если же a > b и n – отрицательное число, то na < nb и a/n < b/n, т. е. обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, но при том знак неравенства нужно изменить на противоположный.

Пример 1. Разделив обе части верного неравенства 25 > 20 на 5, получим верное неравенство 5 > 4. Если же мы делим обе части неравенства 25 > 20 на – 5, то нужно переменить знак > на < , и тогда получим верное неравенство – 5 < – 4.

Пример 2. Из неравенства 2х < 12 следует, что х < 6.

Пример 3. Из неравенства -(1/3)х – (1/3)х > 4 следует, что x < – 12.

Пример 4. Дано неравенство х/к > у/l; из него следует, что lx > ky, если знаки чисел l и k одинаковы, и что lx < ky, если знаки чисел l и k противоположны.