§ 51. Общие сведения о неравенствах

Два выражения, числовые или буквенные, соединенные знаком «больше» (>) или знаком «меньше» (<), образуют неравенство (числовое или буквенное).

Всякое верное числовое неравенство, а также всякое буквенное неравенство, справедливое при всех числовых действительных значениях входящих в него букв, называется тождественным.

Пример 1. Числовое неравенство 2*3 — 5 < 8 - 5 (оно верно!) есть тождественное неравенство.

Пример 2. Буквенное неравенство a2 > — 2 тождественно, так как при всяком числовом (действительном) значении а величина a2 положительна или равна нулю и, значит, всегда больше, чем — 2.

Два выражения соединяются также знаками («меньше и или равно») и («больше или равно»). Так, запись 2а ≥ 3b означает, что величина либо больше величины 3b, либо равна ей. Такие записи также именуются неравенствами.

Буквенные величины, входящие в неравенство, могут подразделяться на известные и неизвестные. Какие из букв представляют известные, а какие неизвестные величины, должно быть отдельно указано. Обычно для этого неизвестные величины обозначаются последними буквами латинского алфавита х, у, v, υ и т. д.

Решить неравенство — значит указать границы, в которых должны заключаться (действительные) значения неизвестныx величин, чтобы неравенство было верным.

Если дано несколько неравенств, то решить систему этих неравенств — значит указать границы, в которых должны заключаться значения неизвестных величин, чтобы все данные неравенства были верными.

Пример 3. Решить неравенство х2 < 4. Это неравенство верно, если |х| < 2, т. е. если х заключено в границах между — 2 и + 2. Решение имеет вид: — 2 < х < 2.

Пример 4. Решить неравенство 2х > 8. Решение имеет вид х > 4. Здесь х ограничено только с одной стороны.

Пример 5. Неравенство (х — 2) (х — 3) > 0 верно, если х > 3 (тогда оба сомножителя (х — 2), (х — 3) положительны), а также при х < 2 (тогда оба сомножителя отрицательны), в неверно, когда х заключено в границах между 2 и 3 (а также при х = 2 и при х = 3). Поэтому решение представляется двумя неравенствами:
х>3; х<2.

Пример 6. Неравенство х2 < - 2 не имеет решений (ср. пример 2).

Добавить комментарий