§ 53. Равносильные неравенства. Основные приемы решения неравенств

Два неравенства, содержащие одни и те же неизвестные, называются равносильными, если они верны при одних и тех же значениях этих неизвестных.

Так же определяется равносильность двух систем неравенств.

Пример 1. Неравенства 3х+1 > 2x+4 и 3x > 2x+3 равносильны, так как оба верны при x > 3 и оба неверны, когда x ≤ 3

Пример 2. Неравенства 2x ≤ 6 и x≤ 9 не равносильны, так как решение первого есть x ≤ 3, а решение второго -3x ≤ x ≤ 3, так что, например x = -4 первое верно, а второе неверно.

Процесс решения неравенства заключается в основном в замене данного неравенства (или данной системы неравенств) другими равносильными1. При решении неравенств применяются следующие основные приемы (ср. § 18).

1. Замена одного выражения другим, тождественно ему равным.
2. Перенос слагаемого из одной части неравенства в другую с заменой знака на противоположный (в силу § 50, п.3).
3. Умножение или деление обеих частей неравенства на одну и ту же числовую величину (не равную нулю). При этом если множитель положителен, то знак неравенства остается тем же, если же отрицателен, то знак неравенства меняется на противоположный (§ 50, п.6).

Каждое их этих преобразований дает неравенство, равносильное исходному.

Пример. Дано неравенство (2x-3)< 4x2+2. Заменяем левую часть тождественно равным выражением 4x2-12x+9. Получаем 4x2-12x+9 < 4x2+2. Переносим из правой части член 4x2 в левую, а из левой части член 9 в правую часть. После приведения подобных членов получаем -12x(7/12).

Умножать (а также делить) неравенство на нуль нельзя. Умножая или деля обе части неравенства на буквенные выражения, мы получаем неравенство, которое, как правило, не равносильно исходному.

Пример. Дано неравенство (x-2)x < x-2. Если разделить обе его части на x-2, то получим x < 1. Но это неравенство не равносильно исходному, так как, например, значение x=0 не удовлетворяет неравенству (x-2)x < x-2. Неравенство x < 1 тоже не равносильно исходному, так как, например, значение x=3 неравенству (x-2)x

Добавить комментарий