§ 58. Неравенства второй степени с одним неизвестным (общий случай)

Разделив неравенства второй степени на коэффициент при x2, мы приведем его к одному из видов

x2+px+q < 0,              (1)
x2+px+q > 0,              (2)

Перенесем свободный член в правую часть и прибавим к обеим частям (p/2)2. Получим соответственно

(x+(p/2))2 < (p/2)2-q,               (1a)
(x+(p/2))2 > (p/2)2-q.               (2a)

Если обозначить x+(p/2) через z, а (p/2)2-q через m, то мы получим простейшие неравенства

z2 < m, (1b)
z2 > m. (2b)

Решение этих неравенств было дано в предыдущем параграфе. Зная его, найдем решение неравенства (1) или (2).

Пример 1. Решить неравенство -2x2+14x-20 > 0. Разделив обе части на -2 (§ 53, п.3), найдем x2-7x+10 < 0. Перенеся свободный член 10 вправо и прибавим к обеим частям (7/2)2, получим (x-(7/2))2 < 9/4. Отсюда (§ 57, п.1)

-(3/2) < x-(7/2) < 3/2.

Прибавляя 7/2, находим -(3/2)+(7/2) < x < (3/2)+(7/2), т.е.

2 < x < 5.

Пример 2. Решить неравенство —2x2+14x-20 < 0. Выполнив те же преобразования, получим неравенство (x-(7/2))2 > 9/4. Отсюда (§ 57, п.2) находим, что наше неравенство справедливо, во-первых, при x-(7/2) > 3/2, т.е. при x > 5, и, во-вторых, при x-(7/2) < -3/2, т.е. при x < 2.

Пример 3. Решить неравенство x2+6x+15 < 0. Перенося свободный член вправо и прибавляя к обеим частям (6/2)2, т.е. 9, найдем (x+3)2 < -6. Это неравенство (§ 57, п.1) не имеет решений. Значит, не имеет решений и данное неравенство.

Пример 4. Решить неравенство x2+6x+15 > 0. Как в примере 3, найдем (x+3)2 > -6. Это неравенство (§ 57, п.2) тождественное. Значит, и данное неравенство тождественное.

Добавить комментарий