Архив метки: планиметрия

планиметрия

§ 7. Треугольник

Остроугольный треугольник

рис.1

Треугольник (Δ) — многоугольник с тремя сторонами. Стороны треугольника часто обозначаются малыми буквами, соответствующими обозначению противоположных вершин. Если все три угла острые, то треугольник — остроугольный (рис. 1); если один из углов прямой — прямоугольный (рис. 2); стороны, образующие прямой угол, называются катетами (а, b); сторона против прямого угла — гипотенузой (с). Если один из углов тупой (например, ∠A, рис. 3), то треугольник — тупоугольный.

Прямоугольный треугольник

рис.2

ΔABC равнобедренный (рис. 4), когда две его стороны равны (b = с); равносторонний (рис. 5), когда три стороны равны (а = b = с). Равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми, третья сторона — основанием.

Тупоугольный треугольник

рис.3

Во всяком треугольнике против большей стороны лежит больший угол; против равных сторон — равные углы, и обратно. В частности, равносторонний треугольник вместе с тем равноугольный, и обратно.

Равнобедренный треугольник

рис.4

Во всяком треугольнике сумма углов равна 180°; в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60°.

Равносторонний треугольник

рис.5

Продолжив одну из сторон треугольника (АС на рис. 6), получаем внешний угол ∠BCD. Внешний угол равен сумме внутренних, с ним не смежных: ∠BCD = ∠A + ∠B.

Внешний угол равен сумме внутренних, с ним не смежных

рис.6

Всякая сторона треугольника меньше суммы и больше разности двух других сторон (a < b + c; a > b — c).

Площадь треугольника равна произведению половины основания на высоту (о высоте треугольника см. §9): S = 0.5*a*h

§ 6. Многоугольник

Плоская фигура, образованная замкнутым рядом прямолинейных отрезков, называется многоугольником. На рис.1 изображен шестиугольник ABCDEF. Точки А, В, С, D, Е, Fвершины многоугольника; углы при них (углы многоугольника) обозначаются ∠A, ∠В, ∠С, …, ∠F. Отрезки: AC, AD, BE и т.д. — диагонали, АВ; ВС, CD и т. д. — стороны многоугольника; сумма длин сторон АВ + ВС + CD + … + FA называется периметром и обозначается р, а иногда (тогда рполупериметр).

Выпуклый многоугольник рис.1

В элементарной геометрии рассматриваются только простые многоугольники, т. е. такие, контур которых не имеет самопересечений.

Многоугольники, контур которых имеет самопересечения, называются звездчатыми многоугольниками. На рис.2 изображен звездчатый многоугольник ABCDE.

Звездчатый многоугольник рис.2

Если все диагонали многоугольника лежат внутри него, многоугольник называется выпуклым.

Шестиугольник на рис.1 выпуклый; пятиугольник на рис.3 невыпуклый (диагональ ЕС лежит вне многоугольника).

Невыпуклый многоугольник рис.3

Сумма внутренних углов во всяком выпуклом многоугольнике равна 180° (n-2), где n — число сторон многоугольника*.

* В учебниках геометрии это свойство высказывается обычно только для выпуклых многоугольников. Но оно справедливо для всех простых многоугольников. Но оно справедливо для всех простых многоугольников. Нужно заметить, что в невыпуклом многоугольнике один или несколько внутренних углов превышают 180°. Так, в невыпуклом пятиугольнике, изображенном на рис.3, два угла прямые, два угла имеют по 45°, а один содержит 270°. Суммаа углов составляет 180° (5-2)=540°.

§ 5. Углы

Угол есть фигура (рис.1), образованная двумя лучами ОА и ОВ (стороны угла), исходящими из одной точки О (вершины угла).

Острый угол. Угол есть фигура, образованная двумя лучами ОА и ОВ (стороны угла), исходящими из одной точки О (вершины угла)

рис.1

Мерой угла служит величина поворота вокруг вершины О, переводящего луч ОА в положение ОВ. Широко распространены две системы измерения углов: радианная и градусная. Они разнятся выбором единицы меры. О радианной мере смотри раздел Тригонометрия §3.

Градусная система измерения углов*. В ней за единицу принимается угол, полученный поворотом луча на 1/360 часть одного полного оборота — градус (обозначение °). Полный оборот (например, при движении часовой стрелки с 0 час. до 12 час.) составляет, таким образом, 360°. Градус делится на 60 минут (обозначение ‘); минута — на 60 секунд (»). Запись 42°33’21» обозначает 42 градуса, 33 минуты, 21 секунду.

Угол в 90° (т.е. 1/4 полного оборота) называется прямым (рис.2) и обозначается буквой d.

Угол, меньший 90°, называется острым (АОВ на рис.1); больший 90° — тупым (рис.3). Прямые линии, образующие прямой угол, называются перпендикулярными одна к другой.

Прямой угол

рис.2

Тупой угол

рис.3

*Градусная система восходит к глубокой древности (см. раздел Арифметика, §4). Во время первой французской буржуазной революции (1793 г.) во Франции вместе с десятичной (метрической) системой мер была введена сотенная (центезимальная) система измерения углов. В ней прямой угол делится на 100 градусов («градов»), градус на 100 мин., минута на 100 сек. Эта система применяется и сейчас, но во всеобщее употребление она не вошла. Наиболее часто она употребляется в геодезических измерениях.

§ 4. Прямая линия, луч, отрезок

Прямую линию можно мысленно продолжить в обе стороны безгранично. В геометрии название «прямая» обозначает обычно прямую линию, не ограниченную ни с одной, ни с другой стороны. Часть прямой линии, с одной стороны ограниченная, а с другой — нет, называется полупрямой или лучом. Часть прямой линии, ограниченная с обеих сторон, называется отрезком.

§ 3. Теоремы, аксиомы, определения

Рассуждение, устанавливающее, какое-либо свойство, называется доказательством. Доказываемое свойство называется теоремой. При доказательстве геометрической теоремы мы опираемся на ранее установленные свойства. Некоторые из них в свою очередь являются теоремами; некоторые же считаются в геометрии основными и принимаются без доказательства. Свойства, принимаемые без доказательства, называются аксиомами.

Аксиомы возникли из опыта, и опыт же проверяет истинность аксиом в их совокупности. Проверка состоит в том, что все теоремы геометрии согласовываются с опытом; этого не случилось бы, если бы система аксиом была ложной.

Ни одно геометрическое свойство, взятое в отдельности, не является аксиомой, так как его всегда можно доказать на основании других свойств. Так, в геометрии обычно принимается за аксиому следующее свойство параллельных прямых: «через одну и ту же точку нельзя провести две различные прямые, параллельные одной и той же прямой» (аксиома параллельности). На основании этой аксиомы (и ряда других) доказывается такое свойство треугольника: «сумма углов треугольника равна 180°». Между тем мы могли бы последнее свойство принять за аксиому вместо аксиомы параллельности (оставив остальные аксиомы прежними). Тогда упомянутое свойство параллельных прямых можно доказать и оно станет теоремой.

Таким образом, систему аксиом можно выбирать различными способами. Нужно только, чтобы взятых аксиом было достаточно для вывода всех прочих геометрических свойств. В геометрии стремятся число аксиом по возможности уменьшить. Это делается для того, чтобы уяснить логические связи между отдельными свойствами.

Аксиомы предпочтительно выбираются из числа простейших геометрических свойств. Впрочем, по вопросу о простоте того или иного свойства мнения могут быть различны.

Некоторые понятия в геометрии мы принимаем за начальные, их содержание можно выяснить только из опыта (таково, например, понятие точки). Все остальные понятия мы объясняем, опираясь на начальные. Такие объяснения называются определениями. Каждое геометрическое определение опирается либо непосредственно на начальные понятия, либо на понятия, определенные прежде.

Одно и то же геометрическое понятие можно определять различно. Например, диаметр окружности можно определить как хорду, проходящую через центр, или как хорду наибольшей длины. Приняв за определение одно из этих свойств, можно доказать другое. Предпочтительно взять за определение простейшее свойство; впрочем, и здесь невозможно обеспечить всеобщего согласия.

§ 2. Исторические сведения о развитии геометрии

Первые геометрические понятия приобретены людьми в глубокой древности. Они возникли из потребности определять вместимость различных предметов (сосудов, амбаров и т. п.) и площади земельных участков. Древнейшие известные нам письменные памятники, содержащие правила для определения площадей и объемов, были составлены в Египте и Вавилоне около 4 тысяч лет назад. Около 2,5 тысяч лет назад греки заимствовали у египтян и вавилонян их геометрические знания. Первоначально эти знания применялись преимущественно для измерения земельных участков. Отсюда греческое название «геометрия», что означает «землемерие».

Греческие ученые открыли множество геометрических свойств и создали стройную систему геометрических знаний. В ее основу они положили простейшие геометрические свойства, подсказанные опытом. Остальные свойства выводились из простейших с помощью рассуждений.

Эта система около 300 г. до н.э. получила завершенный вид в «Началах» Евклида, где изложены так-же основы теоретической арифметики. Геометрические разделы «Начал» по содержанию и по строгости изложения примерно совпадают с современными школьными учебниками геометрии.

Однако там ничего не говорится ни об объеме, ни о поверхности шара, ни об отношении окружности к диаметру (хотя есть теорема о том, что площади кругов относятся, как квадраты диаметров). Приближенная величина этого отношения была известна из опыта задолго до Евклида, но только в середине 3 века до н.э. Архимед (287—212 гг.) строго доказал, что отношение окружности к диаметру (т.е. число π) заключено между 3(1/7) и 3(10/71). Архимед доказал также, что объем шара меньше объема описанного цилиндра ровно в 1,5 — раза и что поверхность шара в 1,5 раза меньше
полной поверхности описанного цилиндра.

В способах, примененных Архимедом для решения упомянутых задач, содержатся зачатки методов высшей математики. Эти способы Архимед применил к решению многих трудных задач геометрии и механики, очень важных для строительного дела и для мореплавания. В частности, он определил объемы и центры тяжести многих тел и изучил вопрос о равновесии плавающих тел различной формы.

Греческие геометры исследовали свойства многих линий, важных для практики и для теории. Особенно полно они изучили конические сечения. Во втором веке до н. э. Аполлоний обогатил теорию конических сечений многими важными открытиями, остававшимися непревзойденными в течение 18 веков.

Для изучения конических сечений Аполлоний пользовался методом координат. К изучению всевозможных линий на плоскости этот метод был применен лишь в 30-х годах 17 века французскими учеными П.Ферма (1601 — 1655) и Р.Декартом (1596 — 1650). Для технической практики того времени было достаточно плоских линий. Лишь сто лет спустя, когда этого потребовали возросшие запросы астрономии, геодезии и механики, координатный метод был применен к изучению кривых поверхностей и линий, проведенных на кривых поверхностях.

Систематическое развитие метода координат в пространстве было дано русским академиком Л. Эйлером— гениальным и всесторонним ученым.

Более двух тысяч лет система Евклида считалась непреложной. Но в 1826 г. гениальный русский ученый Николай Иванович Лобачевский создал новую геометрическую систему. Исходные ее положения отличаются от основных положений Евклида лишь в одном пункте1. Но отсюда вытекает множество очень существенных особенностей.

Так, в геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше, чем 180° (в геометрии Евклида она равна 180°). При этом недостаток до 180° тем больше, чем больше площадь треугольника. Может показаться, что опыт опровергает этот и другие выводы Лобачевского. Но это не так. Непосредственно измеряя углы треугольника, мы находим, что они в сумме составляют примерно 180°. Точной же величины суммы мы не можем найти вследствие несовершенства измерительных инструментов. Между тем все те треугольники, которые доступны нашему измерению, слишком малы, чтобы непосредственными измерениями обнаружить недостаток суммы углов до 180°.

При дальнейшем развитии гениальных идей Лобачевского оказалось, что система Евклида недостаточна для исследования многих вопросов астрономии и физики, где мы имеем дело с фигурами огромных размеров. Однако в условиях повседневного опыта она остается вполне пригодной. А так как к тому же она обладает преимуществом простоты, то ее применяют и будут применять в технических расчетах, ее изучают и будут изучать в школах.

1 В геометрии Евклида через точку А проходит только одна прямая, лежащая в одной плоскости с данной прямой ВС и не пересекающая ее. В геометрии Лобачевского таких прямых бесчисленное множество.

§ 1. Предмет геометрии

Геометрия изучает пространственные свойства предметов, оставляя в стороне все остальные их признаки. Например, резиновый мяч диаметром 25 см и чугунное ядро того же диаметра отличаются друг от друга массой, цветом, упругостью и т.д. Однако все эти свойства мяча и ядра в геометрии остаются без внимания; пространственные же их свойства (форма и размеры) одинаковы. С точки зрения геометрии каждый из этих предметов представляет шар диаметром 25 см.

Предмет, у которого мысленно отняты все его свойства, кроме пространственных, называется геометрическим телом. Шар есть одно из геометрических тел.

Следуя дальше по пути отвлечения, мы получаем понятия геометрической поверхности, геометрической линии и геометрической точки. Поверхность мы мысленно отделяем от тела, которому она принадлежит, и лишаем ее толщины. Линию мы лишаем толщины и ширины, а точку вовсе лишаем измерений. Мы представляем, что точка может служить границей линии (или ее части), линия — границей поверхности и поверхность — границей тела. Мы представляем также, что точка может двигаться и своим движением порождать линию, линия может движением порождать поверхность, а поверхность — порождать тело.

В природе нет точек, лишенных измерений, но есть предметы столь малых размеров, что их в некоторых условиях можно принять за геометрические точки. В природе нет также ни геометрических линий, ни геометрических поверхностей, но все свойства линий и поверхностей, рассматриваемые в геометрии, находят многообразные применения в науке и технике. Это происходит потому, что геометрические понятия порождены пространственными свойствами действительного мира. Отвлеченная форма геометрических понятий для того и служит, чтобы эти свойства изучать в чистом их виде.