Архив метки: многоугольник

§ 6. Многоугольник

Плоская фигура, образованная замкнутым рядом прямолинейных отрезков, называется многоугольником. На рис.1 изображен шестиугольник ABCDEF. Точки А, В, С, D, Е, Fвершины многоугольника; углы при них (углы многоугольника) обозначаются ∠A, ∠В, ∠С, …, ∠F. Отрезки: AC, AD, BE и т.д. — диагонали, АВ; ВС, CD и т. д. — стороны многоугольника; сумма длин сторон АВ + ВС + CD + … + FA называется периметром и обозначается р, а иногда (тогда рполупериметр).

Выпуклый многоугольник рис.1

В элементарной геометрии рассматриваются только простые многоугольники, т. е. такие, контур которых не имеет самопересечений.

Многоугольники, контур которых имеет самопересечения, называются звездчатыми многоугольниками. На рис.2 изображен звездчатый многоугольник ABCDE.

Звездчатый многоугольник рис.2

Если все диагонали многоугольника лежат внутри него, многоугольник называется выпуклым.

Шестиугольник на рис.1 выпуклый; пятиугольник на рис.3 невыпуклый (диагональ ЕС лежит вне многоугольника).

Невыпуклый многоугольник рис.3

Сумма внутренних углов во всяком выпуклом многоугольнике равна 180° (n-2), где n — число сторон многоугольника*.

* В учебниках геометрии это свойство высказывается обычно только для выпуклых многоугольников. Но оно справедливо для всех простых многоугольников. Но оно справедливо для всех простых многоугольников. Нужно заметить, что в невыпуклом многоугольнике один или несколько внутренних углов превышают 180°. Так, в невыпуклом пятиугольнике, изображенном на рис.3, два угла прямые, два угла имеют по 45°, а один содержит 270°. Суммаа углов составляет 180° (5-2)=540°.

§ 38. Построить правильный n-угольник по данной его стороне а

На отрезке ВК, равном , как и на диаметре, строим (рис.1) полукруг. Этот полукруг делим на n равных частей точками C, D, E, F, G (вершинами правильного вписанного 2n-угольника; на нашем рисунке n=6). Центр А соединяем лучами со всеми полученными точками, кроме двух последних (K и G). Из точки В радиусом АВ проводим дугу ab, засекая на луче AD точку М и т.д. Точки B, L, M, N и т.д. последовательно соединяем прямыми. Многоугольник ABLMNF — искомый.

Построить правильный n-угольник по данной его стороне

рис.1

Решить эту задачу с помощью циркуля и линейки можно не всегда; например, при n=7, n=9 этого сделать нельзя, так как полукруг с помощью циркуля и линейки на 7 или 9 точно не делится.

§ 37. Около данного круга описать правильные треугольник, пятиугольник, шестиугольник, восьмиугольник, десятиугольник

Отметим на окружности (рис.1) вершины A, B, …, F правильного вписанного многоугольника с тем же числом сторон (см. §33 и §36). Проведем радиусы ОА, ОВ, …, OF и продолжим их. Дугу АВ разделим пополам точкой Е (см. §15). Через Е проведем JPOE. Отрезок JP, заключенный между продолжениями соседних радиусов, есть сторона искомой фигуры. На продолжении остальных радиусов откладываем отрезки ОК, OL, …, ON, равные OP. Точки J, K, L, …, N, P последовательно соединяем. Многоугольник JKLM…NP — искомый.

Около данного круга описать правильные треугольник, пятиугольник, шестиугольник, восьмиугольник, десятиугольник

рис.1

§ 36. Вписать правильный десятиугольник в данный круг

Построим точку F (рис.1), как и в §33 OF есть сторона искомой фигуры. Раствором циркуля, равным OF, сделаем на окружности десять последовательных засечек. Получим вершины искомой фигуры

Вписать правильный десятиугольник в данный круг

рис.1

§ 35. Вписать правильный восьмиугольник в данный круг

Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD (рис.1). Разделив пополам дуги AD, DB, BC, CA точками E, F, G, H (см. §15), последовательно соединяем полученные восемь точек.

Вписать правильный восьмиугольник в данный круг

рис.1

§ 34. Вписать в данный круг правильные шестиугольник и треугольник

Раствором циркуля, равным радиусу круга, делаем на окружности засечки в точках A, B, C, D, E, F (рис.1). Соединяя точки A, B, C, D, E, F подряд, получим правильный шестиугольник. Соединяя их через одну, получим правильный (равносторонний) треугольник.

Вписать в данный круг правильные шестиугольник и треугольник

рис.1

§ 33. Вписать правильный пятиугольник в данный круг

Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD (рис.1). Делим пополам радиус АО точкой Е. Из Е радиусом ЕС проводим дугу CF, пересекая ее диаметр АВ в точке F. Из С радиусом CF проводим дугу FG, пересекая ею данную окружность в точке G; CG(=CF) есть одна сторона искомой фигуры. Проводим тем же радиусом дугу mn из точки П как из центра, получаем еще одну вершину H искомой фигуры и т.д.

Вписать правильный пятиугольник в данный круг

рис.1

§ 32. Описать квадрат около данного круга

Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD (рис.1). Из их концов, как из центров, описываем четыре полуокружности радиусами, равными ОА. Точки F, G, H и E их пересечения — вершины искомого квадрата.

Описать квадрат около данного круга

рис.1

§ 31. Вписать квадрат в данный круг

Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и СD; ACBD — искомый квадрат (рис.1)

Вписать квадрат в данный круг

рис.1

§ 30. Построить квадрат по данной его диагонали АВ

Через середину АВ (рис.1) проводим к АВ перпендикуляр MN (см. п. §2). От точки О его пересечения с АВ откладываем на MN отрезки ОС и OD, равные ОА; соединяем точки С и D с точками А и В; ABCD — искомый квадрат.

Построить квадрат по данной его диагонали

рис.1