Архив метки: геометрия

§ 1. Предмет геометрии

Геометрия изучает пространственные свойства предметов, оставляя в стороне все остальные их признаки. Например, резиновый мяч диаметром 25 см и чугунное ядро того же диаметра отличаются друг от друга массой, цветом, упругостью и т.д. Однако все эти свойства мяча и ядра в геометрии остаются без внимания; пространственные же их свойства (форма и размеры) одинаковы. С точки зрения геометрии каждый из этих предметов представляет шар диаметром 25 см.

Предмет, у которого мысленно отняты все его свойства, кроме пространственных, называется геометрическим телом. Шар есть одно из геометрических тел.

Следуя дальше по пути отвлечения, мы получаем понятия геометрической поверхности, геометрической линии и геометрической точки. Поверхность мы мысленно отделяем от тела, которому она принадлежит, и лишаем ее толщины. Линию мы лишаем толщины и ширины, а точку вовсе лишаем измерений. Мы представляем, что точка может служить границей линии (или ее части), линия — границей поверхности и поверхность — границей тела. Мы представляем также, что точка может двигаться и своим движением порождать линию, линия может движением порождать поверхность, а поверхность — порождать тело.

В природе нет точек, лишенных измерений, но есть предметы столь малых размеров, что их в некоторых условиях можно принять за геометрические точки. В природе нет также ни геометрических линий, ни геометрических поверхностей, но все свойства линий и поверхностей, рассматриваемые в геометрии, находят многообразные применения в науке и технике. Это происходит потому, что геометрические понятия порождены пространственными свойствами действительного мира. Отвлеченная форма геометрических понятий для того и служит, чтобы эти свойства изучать в чистом их виде.

§ 4. Разделить данный отрезок на части, пропорциональные данным величинам

Решается, как предыдущая задача, только на ab откладываются отрезки, пропорциональные данным величинам.

§ 3. Разделить данный отрезок на данное число равных частей

Разделить данный отрезок АВ на данное число равных частей.

Проводим (рис.1) прямую ab, параллельную АВ; на ней откладываем равные отрезки произвольной длины в нужном числе, например, ak = kl = lm = mn = nb. Проводим прямые Aa, Bb . В пересечении их находим точку О. Проводим прямые Ok, Ol, Om, On. Эти прямые пересекут АВ в точках K, L, M, N, делящих АВ на нужное число (в нашем примере 5) равных частей.

Разделить данный отрезок на данное число равных частей

рис.3

§ 2. Разделить данный отрезок пополам

Разделить данный отрезок АВ пополам.

Из концов отрезка А и В (рис.1) одним и тем же произвольным раствором циркуля описываем две дуги. Точки их пересечения С и D соединяем прямой. Точка пересечения О прямых АВ и CD есть середина отрезка АВ.

Разделить данный отрезок пополам

рис.1

§ 1. Через данную точку провести прямую, параллельную данной прямой

Через данную точку С провести прямую, параллельную данной прямой АВ.

С помощью циркуля рисуем произвольную окружность (рис.1) с центром С так, так чтобы она пересекала АВ. Затем от одной из точек пересечения М откладываем с помощью циркуля отрезок MN равный радиусу первой окружности. Проводим из точки N дугу ab тем же раствором циркуля. Точка Р пересечения дуги ab с окружностью соединяем с данной точкой С. PC — искомая прямая.

Через данную точку провести прямую, параллельную данной прямой

рис.1