Для уравнения 3-й и 4-й степени общего вида найдены формулы, выражающие корни уравнения через буквенные величины коэффициентов. Эти формулы содержат радикалы 2-й и 3-й степени. Они сложны и потому мало пригодны для практики. Для уравнений более высокой степени таких формул совсем нет. Доказано, что корни общего уравнения степени выше 4-й нельзя выразить через буквенные коэффициенты с помощью конечного числа сложений, вычитаний, умножений, делений, возведений в степень и извлечений корня. Такое выражение возможно лишь для некоторых частных видов буквенных уравнений высших степеней.
Тем не менее корни всякого алгебраического уравнения с числовыми коэффициентами можно найти приближенно с любой степенью точности.
До введения комплексных чисел даже квадратное уравнение не всегда имело решение. С введением комплексных чисел каждое алгебраическое уравнение имеет по крайней мере один корень (коэффициенты алгебраического уравнения могут быть совершенно произвольными – даже комплексными).
Уравнение n-й степени не может иметь больше чем n различных корней, а меньше – может. Например, уравнение пятой степени, (x – 3)(x – 2)(х – 1)3 = 0 (в раскрытом виде x5 – 8x4+ 24x3 – 34x2 + +23х – 6 = 0) имеет корни x1 = 3, x2 = 2, x3 = 1. Других корней у него нет. Всё же считают, что это уравнение имеет пять корней, (x1 =3, x2 = 2, x3 = 1, x4 = 1, x5 = 1). Корень 1 сосчитывают три раза, потому что левая часть данного уравнения содержит множитель х – 1 в третьей степени.
При таком счете всякое уравнение n-й степени
а0хn + а1хn-1 +… + аn = 0 (а0 ≠ 1) (1)
имеет ровно n корней, и вот почему. Уравнение (1) можно (единственным способом) представить в виде
a0(x – x1) (x – x2)…(x – xn) (2)
Числа x1, x2,. ..,хn – корни уравнения (1). Среди ниx несколько могут иметь, одно, и то же значение (в предыдущем примере х3 = x4 = х5 = 1). Это значение сосчитывается в качестве корня столько раз, сколько оно повторяется. При таком счете общее число корней всегда равно n.
Если коэффициенты алгебраического уравнения – действительные, а один из корней есть комплексное число а + bi, то сопряженное комплексное число а – bi – тоже корень.
Например, комплексное число (√2/2) + (√2/2)*i есть корень уравнения x4 +1 = 0; сопряженное комплексное число (√2/2) – (√2/2)*i тоже корень этого уравнения. Таким образом уравнение с действительным коэффициентом имеет всегда четное число комплексных корней.
Всякое уравнение нечетной степени с коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень (ведь комплексных корней всегда четное число, а общее число корней по условию нечетно).
Сумма корней уравнения (1) равна – a1/a0 , а произведений корней равно (-1)n(an/a0). Эти свойства были указаны французским математиком Виета в 1591 г.
Пример. Уравнение x5 – 8x4 + 24x3 – 34x2 + 23х – 6 = 0 (n = 5; а0 = 1, а1 = – 8, аn = – 6) имеет корни (см. выше) З, 2, 1, 1, 1. Сумма их составляет 8 (т.е. -(-8/1)), а произведение 6 (т.е. (- 1)5 * (-6/1)).
Эти свойства (а также b другие аналогичные) выводятся из сопоставления уравнений (1) и (2) (у них должны быть одинаковыми все члены, в частности второй и последний).