Архив рубрики: Алгебра

Справочник по алгебре. Выгодский М.Я.

§ 58. Неравенства второй степени с одним неизвестным (общий случай)

Разделив неравенства второй степени на коэффициент при x2, мы приведем его к одному из видов

x2+px+q < 0,              (1)
x2+px+q > 0,              (2)

Перенесем свободный член в правую часть и прибавим к обеим частям (p/2)2. Получим соответственно

(x+(p/2))2 < (p/2)2-q,               (1a)
(x+(p/2))2 > (p/2)2-q.               (2a)

Если обозначить x+(p/2) через z, а (p/2)2-q через m, то мы получим простейшие неравенства

z2 < m, (1b)
z2 > m. (2b)

Решение этих неравенств было дано в предыдущем параграфе. Зная его, найдем решение неравенства (1) или (2).

Пример 1. Решить неравенство -2x2+14x-20 > 0. Разделив обе части на -2 (§ 53, п.3), найдем x2-7x+10 < 0. Перенеся свободный член 10 вправо и прибавим к обеим частям (7/2)2, получим (x-(7/2))2 < 9/4. Отсюда (§ 57, п.1)

-(3/2) < x-(7/2) < 3/2.

Прибавляя 7/2, находим -(3/2)+(7/2) < x < (3/2)+(7/2), т.е.

2 < x < 5.

Пример 2. Решить неравенство —2x2+14x-20 < 0. Выполнив те же преобразования, получим неравенство (x-(7/2))2 > 9/4. Отсюда (§ 57, п.2) находим, что наше неравенство справедливо, во-первых, при x-(7/2) > 3/2, т.е. при x > 5, и, во-вторых, при x-(7/2) < -3/2, т.е. при x < 2.

Пример 3. Решить неравенство x2+6x+15 < 0. Перенося свободный член вправо и прибавляя к обеим частям (6/2)2, т.е. 9, найдем (x+3)2 < -6. Это неравенство (§ 57, п.1) не имеет решений. Значит, не имеет решений и данное неравенство.

Пример 4. Решить неравенство x2+6x+15 > 0. Как в примере 3, найдем (x+3)2 > -6. Это неравенство (§ 57, п.2) тождественное. Значит, и данное неравенство тождественное.

§ 57. Простейшие неравенства второй степени с одним неизвестным

1. Неравенства x2 < m. (1)
Если m > 0, то решение есть

-√m < x < √m. (1a)

Если m ≤ 0, то решения нет (квадрат действительного числа не может быть отрицательным).

2. Неравенство x2 > m. (2)
Если m > 0, то неравенство (2) справедливо, во-первых, при всех значениях x, больших чем √m, и, во-вторых, при всех значениях x, меньших чем -√m.

x > √m или x < -√m (2a)

Если m=0, то неравенство (2) справедливо при все x, кроме x=0;

x > 0 или x < 0. (2б)

Если m < 0, то неравенство (2) тождественное.

Пример 1. Неравенство x2 < 9 имеет решение -3 < x < 3.

Пример 2. Неравенство x2 < -9 не имеет решений.

Пример 3. Неравенство x2 > 9 имеет решением совокупность всех чисел , больших чем 3, и всех чисел, меньших чем -3.

Пример 4. Неравенство x2 > -9 тождественно.

§ 56. Системы неравенств первой степени

Чтобы решить систему неравенств первой степени, находим решение каждого неравенства в отдельности и сопоставляем эти решения. Это сопоставление либо дает решение системы, либо обнаруживает, что система не имеет решений.

Пример 1. Решить систему неравенств
4x-3 > 5x-5; 2x+4 < 8x;

Решение первого неравенства есть x < 2, решение второго x > 2/3. Решение системы будет 2/3 < x < 2.

Пример 2. Решить систему неравенств
2x-3 > 3x-5; 2x+4 > 8x.

Решение первого неравенства x < 2; решение второго x < 2/3. Решение системы будет x < 2/3 (при этом условии неравенство x < 2 и подавно будет верным).

Пример 3. Решить систему неравенств
2x-3 < 3x-5; 2x+4 > 8x.

Решение первого неравенства x > 2, решение второго x < 2/3. Эти условия противоречат друг другу. Система не имеет решений.

Пример 4. Решить систему неравенств
2x < 16; 3x+1 > 4x-4; 3x+6 > 2x+7; x+5 < 2x+6.

Решения данных неравенств будут соответственно: x <8, x < 5, x > 1, x > -1. Сопоставляя эти условия, находим, что первые два можно заменить одним вторым, а третье и четвертое — одним третьим. Решение системы будет 1 < x < 5.

§ 55. Неравенство первой степени с одним неизвестным

Неравенство первой степени с одним неизвестным можно привести к виду
ax > b
Решением будет:
x > (b/a), если a > 0,
и
x < (b/a), если a < 0.

Пример 1. Решить неравенство 5х-3 > 8x+1.
Решение. 5х-8х > 3+1;
                   -3x > 4;
                   x < (-4/3).

Пример 2. Решить неравенство 5x + 2 < 7x+6.
Решение. 5x-7x < 6-2;
                   -2x < 4;
                   x > -2.

Пример 3. Решить неравенство (x-1)2 < x2+8.
Решение. x2+2x+ 1 < x2+8;
                   -2x < 7;
                   x > (-7/2).

Замечание. Неравенство вида ax+b > a1x+b1 есть неравенство первой степени, если а и а1 не равны. В противном случае это неравенство приводится к числовому (верному или неверному).

Пример 1. Дано неравенство 2(3х-5) < 3(2x-1)+5. Оно равносильно неравенству 6x-10 < 6x+2, а последнее приводится к числовому (тождественному) -10 < 2. Значит, исходное неравенство — тождественное.

Пример 2. Неравенство 2(3х-5) > 3(2x-1)+5 приводится к бессмысленному числовому неравенству -10 > 2. Значит, исходное неравенство не имеет решений.

§ 54. Классификация неравенств

Неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются на алгебраические и трансцендентные; алгебраические неравенства подразделяются на неравенства первой, второй и т.д. степени. Эта классификация производится так же, как и для уравнений (§ 19).

Пример 1. Неравенства 3x2-2x+5  > 3x(x-2) алгебраическое, второй степени.

Пример 2. Неравенство 2x > x+4 трансцендентное.

Пример 3. Неравенство 3x2-2x+5 > 3x(x-2) алгебраическое, первой степени, потому что оно приводится к неравенству 4x+5 > 0.

§ 53. Равносильные неравенства. Основные приемы решения неравенств

Два неравенства, содержащие одни и те же неизвестные, называются равносильными, если они верны при одних и тех же значениях этих неизвестных.

Так же определяется равносильность двух систем неравенств.

Пример 1. Неравенства 3х+1 > 2x+4 и 3x > 2x+3 равносильны, так как оба верны при x > 3 и оба неверны, когда x ≤ 3

Пример 2. Неравенства 2x ≤ 6 и x≤ 9 не равносильны, так как решение первого есть x ≤ 3, а решение второго -3x ≤ x ≤ 3, так что, например x = -4 первое верно, а второе неверно.

Процесс решения неравенства заключается в основном в замене данного неравенства (или данной системы неравенств) другими равносильными1. При решении неравенств применяются следующие основные приемы (ср. § 18).

1. Замена одного выражения другим, тождественно ему равным.
2. Перенос слагаемого из одной части неравенства в другую с заменой знака на противоположный (в силу § 50, п.3).
3. Умножение или деление обеих частей неравенства на одну и ту же числовую величину (не равную нулю). При этом если множитель положителен, то знак неравенства остается тем же, если же отрицателен, то знак неравенства меняется на противоположный (§ 50, п.6).

Каждое их этих преобразований дает неравенство, равносильное исходному.

Пример. Дано неравенство (2x-3)< 4x2+2. Заменяем левую часть тождественно равным выражением 4x2-12x+9. Получаем 4x2-12x+9 < 4x2+2. Переносим из правой части член 4x2 в левую, а из левой части член 9 в правую часть. После приведения подобных членов получаем -12x(7/12).

Умножать (а также делить) неравенство на нуль нельзя. Умножая или деля обе части неравенства на буквенные выражения, мы получаем неравенство, которое, как правило, не равносильно исходному.

Пример. Дано неравенство (x-2)x < x-2. Если разделить обе его части на x-2, то получим x < 1. Но это неравенство не равносильно исходному, так как, например, значение x=0 не удовлетворяет неравенству (x-2)x < x-2. Неравенство x < 1 тоже не равносильно исходному, так как, например, значение x=3 неравенству (x-2)x

Десятичная система счисления

В современном русском языке, а также в языках других народов названия всех чисел до миллиона составляются из 37 слов, обозначающих числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000 (например, девятьсот восемнадцать тысяч семьсот сорок два). В свою очередь названия этих 37 чисел, как правило, образованы из названий чисел первого десятка (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и чисел 10, 100, 1000 (например, 18 = восемь на десять, 30 = тридесять, т. е. три десятка, 300 ~ триста, т. е. три сотни). В основе этого словообразования лежит число 10, и потому наша система наименований называется десятичной системой счисления.

Исключительная роль, принадлежащая числу 10, объясняется тем, что на руках у нас 10 пальцев.

Из упомянутого правила в разных языках имеются различные исключения, объясняющиеся историческими особенностями развития счета. В русском языке единственным исключением является наименование «сорок» (прежде наряду с ним употреблялось и слово «четыредесят»). Это исключение можно поставить в связь с тем, что число 40 играло некогда особую роль, означая неопределенно большое количество1.

В тюркских языках (азербайджанском, узбекском, туркменском, казахском, татарском, турецком и др.) исключение составляют наименования чисел 20, 30, 40, 50, тогда как название чисел 60, 70, 80, 90 образованы из наименований для 6, 7, 8, 92. В монгольском языке, наоборот, наименования чисел 20, 30, 40, 50 следуют общему правилу, а наименования 60, 70, 80 , 90 составляют исключение. Во французском языке сохранились недесятичные названия чисел 20 и 80, причем 80 именуется quatrevingt, т.е. «четыре двадцать». Здесь мы имеем остаток древнего счисления (по числу пальцев на руках и ногах). В латинском языке наименование числа 20 тоже недесятичное (viginiti), но наименование 80 (octoginta) – десятичное; оно произведено от 8 (octo). Зато наименьшее из чисел 18 и 19 образованы из названия 20 с помощью вычитания : 20-2 и 20-1 (duodevginti, undeviginti, т.е. «два от двадцати», «один от двадцати»). Наименование чисел 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900 во всех современных языках построены на десятичной основе.

1. Слово «сорок» (иначе, «сорочка») в древней Руси называли большой мешок, куда укладывались ценные соболиные шкурки. Слово «девяносто» не представляет исключения из упомянутого правила, но оно образовано по другому способу (девять-до-ста). Этим же способом составляют числительные 80 и 90 в тюркских языках и числительные 70, 80, 90 в готском (древнегерманском) языке (sibuntehund, т.е. «семь под сто» т.д.). В русском языке наряду со словом «девяносто» употреблялось прежде и слово «девятьдесят».

2. В татарском языке числа первого десятка называются: бер (1), ике (2), оч (3), дурт (4), биш (5), алты (6), жиде (7), сигез (8), тугыз (9), ун (10). Десятки же именуются: егерме (20), угыз (30), кырык (40), илле (50), алтмыш (60), житмеш (70), сиксен (80), гуксан (90). Наряду с названием «иоз» для числительного 100 существует наименование «сан»: это же слово означает и 40.

§ 3. Границы счета

На ранних ступенях развития общества люди почти не умели считать. Они отличали друг от друга совокупности двух и трех предметов; всякая совокупность, содержавшая большее число предметов, объединялась в понятии «много».
Это был еще не счет, а лишь его зародыш.

Впоследствии способность различать друг от друга небольшие совокупности развивалась; возникли слова для обозначений понятий «четыре», «пять», «шесть», «семь». Последнее слово длительное время обозначало также неопределённо большое количество. Наши пословицы сохранили память об этой эпохе («семь раз отмерь — один раз отрежь», «у семи нянек дитя без глазу», «семь бед — один ответ» и т. д.).

С усложнением хозяйственной деятельности людей понадобилось вести счет в более обширных пределах. Для этого человек пользовался окружавшими его предметами, как инструментами счета; он делал зарубки па палках и на деревьях, завязывал узлы на веревках, складывал камешки в кучки и т. п. ‘).

Особо важную роль играл природный инструмент человека — его пальцы. Этот инструмент не мог длительно хранить результат счета, но зато всегда был налицо и отличался большой подвижностью. Язык первобытного человека был беден; жесты возмещали недостаток слов, и числа, для которых еще не было названий, «показывались» на пальцах (мы тоже прибегаем к показу чисел на пальцах, когда объясняемся с человеком, не знающим нашего языка).

Естественно, что вновь возникавшие названия «больших» чисел часто строились на основе
числа 10-по количеству пальцев на руках; у некоторых народов возникали также названия чисел на основе
числа 5 — по количеству пальцев на одной руке или на основе числа 20-по количеству пальцев на руках и па ногах.

На первых порах расширение запаса чисел происходило медленно. Сначала люди овладели счетом в пределах
нескольких первых десятков и лишь позднее дошли до сотни. У многих народов число 40 долгое время было пределом счета и названием неопределенно большого количества. В русском языке слово «сороконожка» имеет смысл «многоножка»;
выражение «сорок сороков» означало в старину число, превосходящее всякое воображение. Тот же смысл имеет слово «сорок» в ряде русских пословиц и поговорок («и один глаз, да зорок, не надо и сорок», «сидела сорок лет, высидела сорок реп» и др.).

На следующей ступени счет достигает нового предела: десяти десятков, и создается название для числа 100.
Вместе с тем слово «сто» приобретает смысл неопределенно большого числа. Такой смысл оно имеет, например, в загадке: стоит поп низок, на нем сто ризок (капуста). Такой же смысл потом приобретают последовательно числа тысяча, десять тысяч (в старину это число называлось «тьма»), миллион.

§ 2. Целые (натуральные) числа

Первые представления о числе приобретены людьми в незапамятной древности. Они возникли из счета людей, животных, плодов, различных изделий человека и
других предметов.

Результатом счета являются числа один, два, три и т.д. Эти числа называются теперь
натуральными. В арифметике их называют также целыми числами (наименование «целое число» имеет в математике и более широкий смысл).

Понятие о натуральном числе является одним из простейших понятий. Его можно пояснить лишь предметным показом.

Ряд целых чисел
1, 2, 3, 4, 5
продолжается без конца; он называется натуральным рядом.

§ 1. Предмет арифметики

Арифметика — это наука о числах. Название «арифметика» происходит от греческого слова «аритмос» (по другому произношению «арифмос»), что означает «число». В арифметике изучаются простейшие свойства чисел и правила вычислении. Более глубокие свойства чисел изучаются в теории чисел.