Архив метки: арифметика

Десятичная система счисления

Добавить комментарий

В современном русском языке, а также в языках других народов названия всех чисел до миллиона составляются из 37 слов, обозначающих числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000 (например, девятьсот восемнадцать тысяч семьсот сорок два). В свою очередь названия этих 37 чисел, как правило, образованы из названий чисел первого десятка (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и чисел 10, 100, 1000 (например, 18 = восемь на десять, 30 = тридесять, т. е. три десятка, 300 ~ триста, т. е. три сотни). В основе этого словообразования лежит число 10, и потому наша система наименований называется десятичной системой счисления.

Исключительная роль, принадлежащая числу 10, объясняется тем, что на руках у нас 10 пальцев.

Из упомянутого правила в разных языках имеются различные исключения, объясняющиеся историческими особенностями развития счета. В русском языке единственным исключением является наименование «сорок» (прежде наряду с ним употреблялось и слово «четыредесят»). Это исключение можно поставить в связь с тем, что число 40 играло некогда особую роль, означая неопределенно большое количество1.

В тюркских языках (азербайджанском, узбекском, туркменском, казахском, татарском, турецком и др.) исключение составляют наименования чисел 20, 30, 40, 50, тогда как название чисел 60, 70, 80, 90 образованы из наименований для 6, 7, 8, 92. В монгольском языке, наоборот, наименования чисел 20, 30, 40, 50 следуют общему правилу, а наименования 60, 70, 80 , 90 составляют исключение. Во французском языке сохранились недесятичные названия чисел 20 и 80, причем 80 именуется quatrevingt, т.е. «четыре двадцать». Здесь мы имеем остаток древнего счисления (по числу пальцев на руках и ногах). В латинском языке наименование числа 20 тоже недесятичное (viginiti), но наименование 80 (octoginta) – десятичное; оно произведено от 8 (octo). Зато наименьшее из чисел 18 и 19 образованы из названия 20 с помощью вычитания : 20-2 и 20-1 (duodevginti, undeviginti, т.е. «два от двадцати», «один от двадцати»). Наименование чисел 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900 во всех современных языках построены на десятичной основе.

  1. Слово «сорок» (иначе, «сорочка») в древней Руси называли большой мешок, куда укладывались ценные соболиные шкурки. Слово «девяносто» не представляет исключения из упомянутого правила, но оно образовано по другому способу (девять-до-ста). Этим же способом составляют числительные 80 и 90 в тюркских языках и числительные 70, 80, 90 в готском (древнегерманском) языке (sibuntehund, т.е. «семь под сто» т.д.). В русском языке наряду со словом «девяносто» употреблялось прежде и слово «девятьдесят».
  2. В татарском языке числа первого десятка называются: бер (1), ике (2), оч (3), дурт (4), биш (5), алты (6), жиде (7), сигез (8), тугыз (9), ун (10). Десятки же именуются: егерме (20), угыз (30), кырык (40), илле (50), алтмыш (60), житмеш (70), сиксен (80), гуксан (90). Наряду с названием «иоз» для числительного 100 существует наименование «сан»: это же слово означает и 40.

§ 3. Границы счета

Добавить комментарий

На ранних ступенях развития общества люди почти не умели считать. Они отличали друг от друга совокупности двух и трех предметов; всякая совокупность, содержавшая большее число предметов, объединялась в понятии «много».
Это был еще не счет, а лишь его зародыш.

Впоследствии способность различать друг от друга небольшие совокупности развивалась; возникли слова для обозначений понятий «четыре», «пять», «шесть», «семь». Последнее слово длительное время обозначало также неопределённо большое количество. Наши пословицы сохранили память об этой эпохе («семь раз отмерь – один раз отрежь», «у семи нянек дитя без глазу», «семь бед – один ответ» и т. д.).

С усложнением хозяйственной деятельности людей понадобилось вести счет в более обширных пределах. Для этого человек пользовался окружавшими его предметами, как инструментами счета; он делал зарубки па палках и на деревьях, завязывал узлы на веревках, складывал камешки в кучки и т. п. ‘).

Особо важную роль играл природный инструмент человека – его пальцы. Этот инструмент не мог длительно хранить результат счета, но зато всегда был налицо и отличался большой подвижностью. Язык первобытного человека был беден; жесты возмещали недостаток слов, и числа, для которых еще не было названий, «показывались» на пальцах (мы тоже прибегаем к показу чисел на пальцах, когда объясняемся с человеком, не знающим нашего языка).

Естественно, что вновь возникавшие названия «больших» чисел часто строились на основе
числа 10-по количеству пальцев на руках; у некоторых народов возникали также названия чисел на основе
числа 5 – по количеству пальцев на одной руке или на основе числа 20-по количеству пальцев на руках и па ногах.

На первых порах расширение запаса чисел происходило медленно. Сначала люди овладели счетом в пределах
нескольких первых десятков и лишь позднее дошли до сотни. У многих народов число 40 долгое время было пределом счета и названием неопределенно большого количества. В русском языке слово «сороконожка» имеет смысл «многоножка»;
выражение «сорок сороков» означало в старину число, превосходящее всякое воображение. Тот же смысл имеет слово «сорок» в ряде русских пословиц и поговорок («и один глаз, да зорок, не надо и сорок», «сидела сорок лет, высидела сорок реп» и др.).

На следующей ступени счет достигает нового предела: десяти десятков, и создается название для числа 100.
Вместе с тем слово «сто» приобретает смысл неопределенно большого числа. Такой смысл оно имеет, например, в загадке: стоит поп низок, на нем сто ризок (капуста). Такой же смысл потом приобретают последовательно числа тысяча, десять тысяч (в старину это число называлось «тьма»), миллион.

§ 2. Целые (натуральные) числа

Добавить комментарий

Первые представления о числе приобретены людьми в незапамятной древности. Они возникли из счета людей, животных, плодов, различных изделий человека и
других предметов.

Результатом счета являются числа один, два, три и т.д. Эти числа называются теперь
натуральными. В арифметике их называют также целыми числами (наименование «целое число» имеет в математике и более широкий смысл).

Понятие о натуральном числе является одним из простейших понятий. Его можно пояснить лишь предметным показом.

Ряд целых чисел
1, 2, 3, 4, 5…
продолжается без конца; он называется натуральным рядом.

§ 1. Предмет арифметики

Добавить комментарий

Арифметика – это наука о числах. Название «арифметика» происходит от греческого слова «аритмос» (по другому произношению «арифмос»), что означает «число». В арифметике изучаются простейшие свойства чисел и правила вычислении. Более глубокие свойства чисел изучаются в теории чисел.