Архив метки: тригонометрия

§ 5. Тригонометрические функции острого угла

Решение всяких треугольников в конечном счете сводится к решению прямоугольных треугольников. В прямоугольном же треугольнике АВС отношение двух его сторон, например катета а к гипотенузе с, всецело зависит от величины одного из острых углов, например А (рис. 1).

Тригонометрические функции острого угла

рис.1

Отношения различных пар сторон прямоугольного треугольника и называются тригонометрическими функциями его острого угла. По отношению к углу А эти функции получают следующие названия и обозначения:

1. Синус: sin А = a/c (отношение противолежащего катета к гипотенузе).

2. Косинус: cos А = b/c (отношение прилежащего катета к гипотенузе).

3. Тангенс: tg A = a/b (отношение противолежащего катета к прилежащему).

4. Котангенс: ctg А = b/a (отношение прилежащего катета к противолежащему).

5. Секанс: sec А = c/b (отношение гипотенузы к прилежащему катету).

6. Косеканс: cosec А = c/a (отношение гипотенузы к противолежащему катету).

По отношению к углу Вдополнительному» углу но отношению к А) названия соответственно меняются:

sin В = b/c ; cos В = a/c ; tg В = b/a ;

ctg В = a/b ; sec В = c/a ; cosec В = c/b .

Для некоторых углов можно написать точные выражения их тригонометрических величин. Важнейшие случаи даны в таблице ниже*.

Эта таблица имеет больше теоретическое, чем практическое значение, так как содержит неизвлекаемые точно корни. Для большинства же углов даже и с помощью корней нельзя записать точные числовые значения тригонометрических функций. Но приближенные их значения можно вычислить с любой желаемой степенью точности (см. §26).

A sin A cos A tg A ctg A sec A cosec A
0 1 0 1
30° 1/2 √3/2 1/√3 √3 2/√3 2
45° √2/2 √2/2 1 1 √2 √2
60° √3/2 1/2 √3 1/√3 2 2/√3
90° 1 0 0 1

*Углы 0° и 90°, строго говоря, не могут входить в прямоугольный треугольник в качестве его острых углов. Однако при расширении понятия тригонометрической функции (см. §6) рассматриваются значения тригонометрических функций и для этих углов. С другой стороны, один из острых углов треугольника может сколь угодно приблизиться к 90°, другой будет тогда приближаться к нулю; тогда соответствующие тригонометрические величины будут приближаться к значениям, указанным в таблице.
Знак ∞, встречающийся в этой таблице, указывает на то, что абсолютное значение данной величины неограниченно возрастает, когда угол приближается к тому значению, которое указано в таблице. Это и имеют в виду, когда говорят, что величина «равняется бесконечности» или «обращается в бесконечность» (см. Арифметика, §23 и Функции и графики, §12).

§ 2. Исторические сведения о развитии тригонометрии

Потребность в решении треугольников раньше всего возникла в астрономии, и в течение долгого времени тригонометрия развивалась и изучалась как один из отделов астрономии.

Насколько известно, способы решения треугольников (сферических) впервые были письменно изложены греческим астрономом Гиппархом в середине 2 века до н.э. Наивысшими достижениями греческая тригонометрия обязана астроному Птолемею (2 век н.э.), создателю геоцентрической системы мира, господствовавшей до Н.Коперника.

Греческие астрономы не знали синусов, косинусов и тангенсов. Вместо таблиц этих величин они употребляли таблицы, позволявшие находить хорду окружности по стягиваемой дуге. Дуги измерялись в градусах и минутах; хорды тоже измерялись градусами (один градус составлял шестидесятую часть радиуса),минутами и секундами. Это шестидесятеричное подразделение греки заимствовали у вавилонян (см.II, §7)

Таблицы, составленные Птолемеем, содержали хорды всех дуг через каждые 1°/2*, вычисленные с точностью до секунды. С помощью интерполяции по ним можно было найти с той же точностью хорду любой дуги. (Для упрощения интерполяции Птолемей дает поправки на 1′.) При вычислении таблиц Птолемей опирался на открытую им теорему о диагоналях вписанного четырехугольника (IV, Б, §19).

Значительной высоты достигла тригонометрия и у индийских средневековых астрономов. Как и греки, индийцы заимствовали вавилонское градусное измерение дуг. Но индийцы рассматривали не хорды дуг, а линии синусов и косинусов (т. е. линии РМ и ОР для дуги AM на рис. 1). Кроме того, рассматривалась линия РА, получившая позднее в Европе название «синус-верзус».

Исторические сведения о развитии тригонометрии

рис. 1

За единицу измерения отрезков МР, ОР, РА принималась дуговая минута. Так, линия синуса дуги АВ = 90° есть ОВ — радиус окружности; дуга AL, равная радиусу, содержит (округленно) 57°18′ = 3438′. Поэтому синус дуги 90° считался равным 3438′.

Дошедшие до нас индийские таблицы синусов (древнейшая составлена в 4—5 веке н. э.) не столь точны, как птолемеевы; они составлены через 3°45′ (т.е. через 1/24 часть дуги квадранта).

Дальнейшее развитие тригонометрия получила в 9—14 веках в трудах арабоязычных авторов. В 10 веке багдадский ученый Мухаммед из Буджана, известный под именем Абу-ль-Вефа, присоединил к линиям синусов и косинусов линии тангенсов, котангенсов, секансов и косекансов. Он дает им те же определения, которые содержатся в наших учебниках. Абу-ль-Вефа устанавливает также основные соотношения между этими линиями (соответствующие формулам §14). В руках знаменитого мусульманского ученого Насир эд-Дина из Туса (1201 —1274) тригонометрия становится самостоятельной научной дисциплиной. Насир эд-Дин систематически рассматривал все случаи решения плоских и сферических треугольников и указал ряд новых способов решения.

В 12 веке был переведен с арабского языка на латинский ряд астрономических работ, и по ним впервые европейцы познакомились с тригонометрией2. Однако со многими достижениями арабоязычной науки европейцам не удалось познакомиться своевременно. В частности, им осталась неизвестной работа Насир эд-Дина. Выдающийся немецкий астроном 15 века Региомонтан (1436—1476) через 200 лет после Насир эд-Дина заново открыл его теоремы.

Региомонтан составил обширные таблицы синусов (через 1 минуту с точностью до седьмой значащей цифры). Он впервые отступил от шестидесятеричного деления радиуса и за единицу измерения линии синуса принял одну десятимиллионную часть радиуса. Таким образом, синусы выражались целыми числами (а не 60-ричными дробями). До введения десятичных дробей оставался только один шаг. Но он потребовал более 100 лет (см.II, § 31).

За таблицами Региомонтана последовал ряд других, еще более подробных. Друг Коперника Ретик (1514—1576) вместе с несколькими помощниками в течение 30 лет работал над таблицами, законченными и изданными в 1596 г. его учеником Ото. Углы шли через 10″, а радиус делился на 1 ООО ООО ООО ООО ООО частей, так что синусы имели 15 верных цифр!

Буквенные обозначения (в алгебре они появились в конце 16 века) утвердились в тригонометрии лишь в середине 18 века благодаря русскому академику Л.Эйлеру (1707—1783). Этот великий математик придал всей тригонометрии ее современный вид. Величины sin х, cos х и т.д. он рассматривал как функции (VI, § 2) числа х — радианной меры соответствующего угла. Эйлер давал числу х всевозможные значения: положительные, отрицательные и даже комплексные. Он ввел и обратные тригонометрические функции (§24).

*) Если взять центральный угол, опирающийся на половину рассматриваемой дуги, то хорда будет удвоенной линией синуса этого угла. Поэтому таблица Птолемея равносильна пятизначной таблице значений синуса через 1°/4.

2) В это «время появился латинский термин «синус», что означает «пазуха» или «карман». Это — перевод арабского слова «джейб», имеющего то же значение. Как появился этот арабский термин, неизвестно. Некоторые полагают, что он произошел из индийского (санскритского) слова «жиа» или «жила» (первое значение — тетива; в геометрии — хорда). Но синус в индийской терминологии именуется «ардха-жиа», т. е. полухорда.
Название «косинус» появилось только в начале 17 века как сокращение наименования complementi sinus (синус дополнения), указывающего, что косинус угла А есть синус угла, дополняющего угол А до 90°. Наименования «тангенс» и «секанс» (в переводе с латинского означающие «касательная» и «секущая») введены в 1583 г. немецким ученым Финком.

§ 1. Предмет тригонометрии

Слово «тригонометрия» искусственно составлено из греческих слов: «тригонон» — треугольник и «метрезис» — измерение (соответствующим русским термином было бы «треугольникомерие»). Основная задача тригонометрии состоит в решении треугольников т. е. в вычислении неизвестных величин треугольника по данным значениям других его величин. Так, в тригонометрии решают задачу о вычислении углов треугольника по данным его сторонам, задачу о вычислении сторон треугольника — по площади и двум углам и т.д. Так как любую вычислительную задачу геометрии можно свести к решению треугольников, то тригонометрия охватывает всю планиметрию и стереометрию и широко применяется во всех областях естествознания и техники.

Учение о решении сферических треугольников называется сферической тригонометрией; в противоположность этому учение о решении обычных треугольников называют плоской или прямолинейной тригонометрией.

Углы произвольного треугольника нельзя связать непосредственно с его сторонами с помощью алгебраических соотношений. Поэтому в тригонометрии вводятся, кроме самих углов, еще новые тригонометрические величины (их перечень и определения см. § 5). Эти величины уже можно связать со сторонами треугольника простыми алгебраическими соотношениями. С другой стороны, по данному углу можно вычислить соответствующее значение тригонометрической величины, и обратно.

Значение каждой тригонометрической величины изменяется с изменением угла, которому она соответствует: другими словами, тригонометрическая величина есть функция угла (VI, § 2). Отсюда наименование: тригонометрические функции.

Между различными тригонометрическими функциями существуют важные зависимости. Использование их позволяет сокращать и облегчать вычисления. Часть тригонометрии, посвященная изучению этих соотношений, называется гониометрией, т.е. «угломерием» («гонйа» — по-гречески «угол»).