Архив за месяц: Октябрь 2014

§ 25. Вписать окружность в данный правильный многоугольник

Центр окружности находится, как в предыдущем параграфе §24. Из центра опускаем перпендикуляр ON на одну из сторон (рис.1). Радиусом ON (или OL, рис.2) описываем окружность.

Описать окружность около данного правильного многоугольника

рис.1

Описать окружность около данного правильного многоугольника

рис.2

§ 24. Описать окружность около данного правильного многоугольника

Если число сторон четно (рис.1), соединяем прямыми АВ и CD две любые пары противоположных вершин. Из точки их пересечения О радиусом ОА описываем окружность.

Описать окружность около данного правильного многоугольника

рис.1

Если число сторон нечетно (рис.2), опускаем из двух любых вершин К и М перпендикулярны KL и MN на противоположные стороны. Из точки их пересечения О радиусом ОК описываем окружность.

Описать окружность около данного правильного многоугольника

рис.2

§ 23. Вписать окружность в ромб (или квадрат) ABCD

Из точки О пересечения диагоналей проводим ОЕАВ (рис.1). Окружность с центром О и радиусом ОЕ — искомая.

Вписать окружность в ромб (или квадрат)

рис.1

В неравносторонний параллелограмм вписать окружность нельзя.

§ 22. Описать окружность около данного прямоугольника (квадрата) ABCD

Проводим диагонали BD и AC (рис.1). Из точки О их пересечения проводим окружность радиусом ОА.

Описать окружность около данного прямоугольника (квадрата)

рис.1

Около косоугольного параллелограмма описать окружность нельзя.

§ 21. Вписать окружность в данный треугольник АВС

Делим пополам два угла треугольника (рис.1), например А и С. Из точки О пересечения биссектрис проводим ODAC (см. §6). Радиусом OD описываем искомую окружность.

Вписать окружность в данный треугольник

рис.1

§ 19. Провести к двум данным окружностям общую внутреннюю касательную

Задача не имеет решения, если один из кругов лежит внутри другого, а также если данные круги пересекаются. В случае внешнего касания (рис.1) задача имеет одно решение: через точку М проводим KL AB.

Провести к двум данным окружностям общую внутреннюю касательную

рис.1

В остальных случаях имеем два решения (DE и D’E’ рис.2). Из центра А проводим окружность радиусом, равным сумме радиусов данных окружностей. Из центра В проводим касательную ВС к построенной окружности (§17). Точку касания С и центра А соединяем отрезком АС, который пересечет окружность (А) в точке D. Из В проводим радиус ВЕВС. Конец его Е соединяем с D; ED — искомая касательная. Так же строится и другая касательная E’D’.

Провести к двум данным окружностям общую внутреннюю касательную

рис.2

§ 18. Провести к данным двум окружностям общую внешнюю касательную

а) Если радиусы данных окружностей равны между собой, задача всегда имеет два решения (рис.1). Через центры А и В проводим диаметры КК’ и LL’, получаем искомые решения.

Провести к данным двум окружностям общую внешнюю касательную

рис.1

б) Пусть радиусы данных окружностей не равны: R > r; из центра большого круга проводим окружность радиусом AC=R — r (рис.2). К ней проводим касательную ВС из центра В меньшего круга (см. §17). Центр А соединяем с точкой касания С прямой. Продолжаем ее и получаем на большей окружности точку D.

Провести к данным двум окружностям общую внешнюю касательную

рис.2

Проводим ВЕ перпендикулярно к ВС до пересечения в точке Е с меньшей окружностью. Через точку D и Е проводим прямую. Прямая DE — искомая касательная. Задача допускает два решения (DE и D’E’), если меньший круг не лежит целиком внутри большего. Если меньший круг лежит внутри большего (рис.3) , задача не имеет решений.

Провести к данным двум окружностям общую внешнюю касательную

рис.3

В промежуточном случае, когда окружности имеют внутреннее касание (рис.4), задача имеет одно решение: через точку внутреннего касания М проводим KLAM

Провести к данным двум окружностям общую внешнюю касательную

рис.41

§ 17. Провести через данную точку A касательную к данной окружности

Если точка А лежит на окружности (рис.1), строим ВАС перпендикулярно к радиусу ОА (см. §5); ВС — искомая касательная.

Провести через данную точку касательную к данной окружности

рис.1

Если А лежит вне круга (рис.2), делим АО пополам (см. §2) и из середины В проводим радиусом ВО дугу CD. Точки D и С соединяем прямыми с А. Прямые AD и AC — искомые касательные.

Провести через данную точку касательную к данной окружности

рис.2

§ 16. Найти геометрическое место точек, из которых данный отрезок АВ виден под данным углом а

Искомое геометрическое место точек представляет собой две дуги равных окружностей, опирающиеся концами в точки А и В (рис.1). (Сами точки А и В не принадлежат геометрическому месту.) Центры этих дуг находятся так: проводим перпендикуляры AD и BK в концах отрезка АВ (см. §5). Строим угол KBL=a. В пересечении BL и AD получаем точку С. Середина О отрезка ВС есть центр одной из искомых дуг. Другая дуга строится так же.

Найти геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом

рис.1