Если точка А лежит на окружности (рис.1), строим ВАС перпендикулярно к радиусу ОА (см. §5); ВС – искомая касательная.
рис.1
Если А лежит вне круга (рис.2), делим АО пополам (см. §2) и из середины В проводим радиусом ВО дугу CD. Точки D и С соединяем прямыми с А. Прямые AD и AC – искомые касательные.
рис.2
Искомое геометрическое место точек представляет собой две дуги равных окружностей, опирающиеся концами в точки А и В (рис.1). (Сами точки А и В не принадлежат геометрическому месту.) Центры этих дуг находятся так: проводим перпендикуляры AD и BK в концах отрезка АВ (см. §5). Строим угол KBL=a. В пересечении BL и AD получаем точку С. Середина О отрезка ВС есть центр одной из искомых дуг. Другая дуга строится так же.
рис.1
Через вершины А,В,С проводим окружность (см. §13).
Концы дуги соединяем хордой. Проводим перпендикуляр через середину хорды (см. §2). Он разделяет дугу пополам.
На данной дуге выбираем три точки (по возможности далеко отстоящей друг от друга). Затем поступаем, как в предыдущей задаче.
Проводим перпендикуляры ED и KL (рис.1) к отрезкам АС и ВС через их середины (см. §2). Точка пересечения этих перпендикуляров О есть центр искомой окружности.
рис.1
Из точек А и В (рис.1) проводим дуги ab и cd радиусом r. Точка их пересечения есть центр искомой окружности.
рис.1
Простой линейкой и циркулем точно выполнить это построение нельзя. С помощью циркуля и сантиметровой линейки построение можно выполнить так (рис.1): произвольным радиусом АС описываем из точки А окружность. Продолжаем АС за точку А. Кладем линейку так, чтобы она проходила через точку В, и вращаем ее вокруг В до тех пор, пока отрезок ED между окружностью и прямой АК не станет равным радиусу АС. Тогда угол EDF есть треть угла ВАС.
рис.1
Из вершины A проводим дугу DE произвольным радиусом (рис.1). Из точек D и Е ее пересечения со сторонами АВ и АС описываем произвольными равными радиусами (удобнее всего прежним раствором циркуля) дуги ab, ac. Точку их пересечения соединяем с А; полученная прямая AF делит угол ВАС пополам
рис.1
На сторонах прямого ушла ВАС (рис.1) откладываем равные отрезки АВ и АС и соединяем их концы отрезком прямой СВ. Прямая ВС образует с АС и АВ углы под 45°
рис.1