Делим пополам два угла треугольника (рис.1), например А и С. Из точки О пересечения биссектрис проводим OD ⊥ AC (см. §6). Радиусом OD описываем искомую окружность.
рис.1
§ 21. Вписать окружность в данный треугольник АВС
Добавить комментарий
Архив рубрики: Геометрия
§ 19. Провести к двум данным окружностям общую внутреннюю касательную
Задача не имеет решения, если один из кругов лежит внутри другого, а также если данные круги пересекаются. В случае внешнего касания (рис.1) задача имеет одно решение: через точку М проводим KL ⊥ AB.
рис.1
В остальных случаях имеем два решения (DE и D’E’ рис.2). Из центра А проводим окружность радиусом, равным сумме радиусов данных окружностей. Из центра В проводим касательную ВС к построенной окружности (§17). Точку касания С и центра А соединяем отрезком АС, который пересечет окружность (А) в точке D. Из В проводим радиус ВЕ ⊥ ВС. Конец его Е соединяем с D; ED – искомая касательная. Так же строится и другая касательная E’D’.
рис.2
§ 18. Провести к данным двум окружностям общую внешнюю касательную
а) Если радиусы данных окружностей равны между собой, задача всегда имеет два решения (рис.1). Через центры А и В проводим диаметры КК’ и LL’, получаем искомые решения.
рис.1
б) Пусть радиусы данных окружностей не равны: R > r; из центра большого круга проводим окружность радиусом AC=R – r (рис.2). К ней проводим касательную ВС из центра В меньшего круга (см. §17). Центр А соединяем с точкой касания С прямой. Продолжаем ее и получаем на большей окружности точку D.
рис.2
Проводим ВЕ перпендикулярно к ВС до пересечения в точке Е с меньшей окружностью. Через точку D и Е проводим прямую. Прямая DE – искомая касательная. Задача допускает два решения (DE и D’E’), если меньший круг не лежит целиком внутри большего. Если меньший круг лежит внутри большего (рис.3) , задача не имеет решений.
рис.3
В промежуточном случае, когда окружности имеют внутреннее касание (рис.4), задача имеет одно решение: через точку внутреннего касания М проводим KL ⊥ AM
рис.41
§ 17. Провести через данную точку A касательную к данной окружности
Если точка А лежит на окружности (рис.1), строим ВАС перпендикулярно к радиусу ОА (см. §5); ВС – искомая касательная.
рис.1
Если А лежит вне круга (рис.2), делим АО пополам (см. §2) и из середины В проводим радиусом ВО дугу CD. Точки D и С соединяем прямыми с А. Прямые AD и AC – искомые касательные.
рис.2
§ 16. Найти геометрическое место точек, из которых данный отрезок АВ виден под данным углом а
Искомое геометрическое место точек представляет собой две дуги равных окружностей, опирающиеся концами в точки А и В (рис.1). (Сами точки А и В не принадлежат геометрическому месту.) Центры этих дуг находятся так: проводим перпендикуляры AD и BK в концах отрезка АВ (см. §5). Строим угол KBL=a. В пересечении BL и AD получаем точку С. Середина О отрезка ВС есть центр одной из искомых дуг. Другая дуга строится так же.
рис.1
§ 20. Описать окружность около данного прямоугольника АВС
Через вершины А,В,С проводим окружность (см. §13).
§ 15. Разделить пополам данную дугу окружности
Концы дуги соединяем хордой. Проводим перпендикуляр через середину хорды (см. §2). Он разделяет дугу пополам.
§ 14. Найти центр данной дуги окружности
На данной дуге выбираем три точки (по возможности далеко отстоящей друг от друга). Затем поступаем, как в предыдущей задаче.
§ 13. Через три данные точки А, В, С (не лежащие на одной прямой) провести окружность
Проводим перпендикуляры ED и KL (рис.1) к отрезкам АС и ВС через их середины (см. §2). Точка пересечения этих перпендикуляров О есть центр искомой окружности.
рис.1
§ 12. Через две данные точки А и В провести окружность данного радиуса
Из точек А и В (рис.1) проводим дуги ab и cd радиусом r. Точка их пересечения есть центр искомой окружности.
рис.1