Архив за месяц: Сентябрь 2014

§ 1. Предмет геометрии

Геометрия изучает пространственные свойства предметов, оставляя в стороне все остальные их признаки. Например, резиновый мяч диаметром 25 см и чугунное ядро того же диаметра отличаются друг от друга массой, цветом, упругостью и т.д. Однако все эти свойства мяча и ядра в геометрии остаются без внимания; пространственные же их свойства (форма и размеры) одинаковы. С точки зрения геометрии каждый из этих предметов представляет шар диаметром 25 см.

Предмет, у которого мысленно отняты все его свойства, кроме пространственных, называется геометрическим телом. Шар есть одно из геометрических тел.

Следуя дальше по пути отвлечения, мы получаем понятия геометрической поверхности, геометрической линии и геометрической точки. Поверхность мы мысленно отделяем от тела, которому она принадлежит, и лишаем ее толщины. Линию мы лишаем толщины и ширины, а точку вовсе лишаем измерений. Мы представляем, что точка может служить границей линии (или ее части), линия — границей поверхности и поверхность — границей тела. Мы представляем также, что точка может двигаться и своим движением порождать линию, линия может движением порождать поверхность, а поверхность — порождать тело.

В природе нет точек, лишенных измерений, но есть предметы столь малых размеров, что их в некоторых условиях можно принять за геометрические точки. В природе нет также ни геометрических линий, ни геометрических поверхностей, но все свойства линий и поверхностей, рассматриваемые в геометрии, находят многообразные применения в науке и технике. Это происходит потому, что геометрические понятия порождены пространственными свойствами действительного мира. Отвлеченная форма геометрических понятий для того и служит, чтобы эти свойства изучать в чистом их виде.

§ 4. Разделить данный отрезок на части, пропорциональные данным величинам

Решается, как предыдущая задача, только на ab откладываются отрезки, пропорциональные данным величинам.

§ 3. Разделить данный отрезок на данное число равных частей

Разделить данный отрезок АВ на данное число равных частей.

Проводим (рис.1) прямую ab, параллельную АВ; на ней откладываем равные отрезки произвольной длины в нужном числе, например, ak = kl = lm = mn = nb. Проводим прямые Aa, Bb . В пересечении их находим точку О. Проводим прямые Ok, Ol, Om, On. Эти прямые пересекут АВ в точках K, L, M, N, делящих АВ на нужное число (в нашем примере 5) равных частей.

Разделить данный отрезок на данное число равных частей

рис.3

§ 2. Разделить данный отрезок пополам

Разделить данный отрезок АВ пополам.

Из концов отрезка А и В (рис.1) одним и тем же произвольным раствором циркуля описываем две дуги. Точки их пересечения С и D соединяем прямой. Точка пересечения О прямых АВ и CD есть середина отрезка АВ.

Разделить данный отрезок пополам

рис.1

§ 1. Через данную точку провести прямую, параллельную данной прямой

Через данную точку С провести прямую, параллельную данной прямой АВ.

С помощью циркуля рисуем произвольную окружность (рис.1) с центром С так, так чтобы она пересекала АВ. Затем от одной из точек пересечения М откладываем с помощью циркуля отрезок MN равный радиусу первой окружности. Проводим из точки N дугу ab тем же раствором циркуля. Точка Р пересечения дуги ab с окружностью соединяем с данной точкой С. PC – искомая прямая.

Через данную точку провести прямую, параллельную данной прямой

рис.1

§ 65. Десятичные логарифмы

В дальнейшем десятичный логарифм именуется просто логарифмом.

Логарифм единицы равен нулю.

Логарифмы чисел 10, 100, 1000 и т.д. равны 1,2,3 и т.д., т.е. имеют столько положительных единиц, сколько нулей стоит после единицы.

Логарифмы чисел 0,1; 0,01; 0,001 и т.д. равны -1, -2, -3 и т.д., т.е. имеют столько отрицательных единиц, сколько нулей стоит перед единицей (считая и нуль целых).

Логарифмы остальных чисел имеют дробную часть, именуемую мантиссой. Целая часть логарифма называется характеристикой.

Числа, большие единицы, имеют положительные логарифмы. Положительные числа, меньшие единицы1, имеют отрицательные логарифмы.

Например2, lg0,5=-0,30103, lg0,005=-2,30103.

Отрицательные логарифмы для большего удобства нахождения логарифма по числу и числа по логарифму представляются не в вышеприведенной “естественной” форме, а в “искусственной“. Отрицательный логарифм в искусственной форме имеет положительную мантиссу и отрицательную характеристику.

Например, lg0,005=3,69897. Эта запись означает, что lg0,005=-3+0,69897=-2,30103.

Чтобы перевести отрицательный логарифм из естественной формы в искусственную, нужно:

1. На единицу увеличить абсолютную величину его характеристики;
2. Полученное число снабдить знаком минус сверху;
3. Все цифры мантиссы, кроме последней из цифр, не равных нулю, вычитать из девяти; последнюю, не равную нулю цифру вычитать из десяти. Получаемые разности записываются на тех же местах мантиссы, где стояли вычитаемые цифры. Нули на конце остаются нетронутыми.

Пример 1. lg0,05=-1,30103 привести к искусственной форме:
1. Абсолютную величину характеристики 1 увеличиваем на 1; получаем 2;
2. Пишем характеристику искусственной формы в виде 2 и отделяем ее запятой;
3. Вычитаем первую цифру мантиссы 3 из 9; получаем 6; записываем 6 на первом месте после запятой. Таким же образом на следующих местах появляются цифры 9(=9-0), 8(=9-1), 9(=9-0) и 7(=10-3).
В результате получаем:

-1,30103=2,69897.

Пример 2. -0,18350 представить в искусственной форме:
1. Увеличиваем 0 на 1, получаем 1;
2. Имеем 1;
3. Вычитаем цифры 1,8,3 из 9; цифру 5 из 10; нуль на конце остается не тронутым.
В результате получаем:

-0,18350=1,81650.

Чтобы перевести отрицательный логарифм из искусственной формы в естественную, нужно:
1. На единицу уменьшить абсолютную величину его характеристики;
2. Полученное число снабдить знаком минус слева;
3. С цифрами мантиссы поступать, как в случае перехода от естественной формы к искусственной.

Пример 3. 4,689 00 представить в естественной форме:
1. 4-1=3;
2. Имеем -3;
3. Вычитаем цифры из мантиссы 6,8 и 9; цифру 9 из 10; два нуля остаются не тронутыми.
В результате получаем:

4,689 00=-3,311 00.

1 Отрицательные числа вовсе не имеют действительных логарифмов.
2 Все дальнейшие равенства – приближенные с точностью до половины единицы последнего выписанного знака.

§ 58. Неравенства второй степени с одним неизвестным (общий случай)

Разделив неравенства второй степени на коэффициент при x2, мы приведем его к одному из видов

x2+px+q < 0,              (1)
x2+px+q > 0,              (2)

Перенесем свободный член в правую часть и прибавим к обеим частям (p/2)2. Получим соответственно

(x+(p/2))2 < (p/2)2-q,               (1a)
(x+(p/2))2 > (p/2)2-q.               (2a)

Если обозначить x+(p/2) через z, а (p/2)2-q через m, то мы получим простейшие неравенства

z2 < m, (1b)
z2 > m. (2b)

Решение этих неравенств было дано в предыдущем параграфе. Зная его, найдем решение неравенства (1) или (2).

Пример 1. Решить неравенство -2x2+14x-20 > 0. Разделив обе части на -2 (§ 53, п.3), найдем x2-7x+10 < 0. Перенеся свободный член 10 вправо и прибавим к обеим частям (7/2)2, получим (x-(7/2))2 < 9/4. Отсюда (§ 57, п.1)

-(3/2) < x-(7/2) < 3/2.

Прибавляя 7/2, находим -(3/2)+(7/2) < x < (3/2)+(7/2), т.е.

2 < x < 5.

Пример 2. Решить неравенство –2x2+14x-20 < 0. Выполнив те же преобразования, получим неравенство (x-(7/2))2 > 9/4. Отсюда (§ 57, п.2) находим, что наше неравенство справедливо, во-первых, при x-(7/2) > 3/2, т.е. при x > 5, и, во-вторых, при x-(7/2) < -3/2, т.е. при x < 2.

Пример 3. Решить неравенство x2+6x+15 < 0. Перенося свободный член вправо и прибавляя к обеим частям (6/2)2, т.е. 9, найдем (x+3)2 < -6. Это неравенство (§ 57, п.1) не имеет решений. Значит, не имеет решений и данное неравенство.

Пример 4. Решить неравенство x2+6x+15 > 0. Как в примере 3, найдем (x+3)2 > -6. Это неравенство (§ 57, п.2) тождественное. Значит, и данное неравенство тождественное.

§ 57. Простейшие неравенства второй степени с одним неизвестным

1. Неравенства x2 < m. (1)
Если m > 0, то решение есть

-√m < x < √m. (1a)

Если m ≤ 0, то решения нет (квадрат действительного числа не может быть отрицательным).

2. Неравенство x2 > m. (2)
Если m > 0, то неравенство (2) справедливо, во-первых, при всех значениях x, больших чем √m, и, во-вторых, при всех значениях x, меньших чем -√m.

x > √m или x < -√m (2a)

Если m=0, то неравенство (2) справедливо при все x, кроме x=0;

x > 0 или x < 0. (2б)

Если m < 0, то неравенство (2) тождественное.

Пример 1. Неравенство x2 < 9 имеет решение -3 < x < 3.

Пример 2. Неравенство x2 < -9 не имеет решений.

Пример 3. Неравенство x2 > 9 имеет решением совокупность всех чисел , больших чем 3, и всех чисел, меньших чем -3.

Пример 4. Неравенство x2 > -9 тождественно.

§ 56. Системы неравенств первой степени

Чтобы решить систему неравенств первой степени, находим решение каждого неравенства в отдельности и сопоставляем эти решения. Это сопоставление либо дает решение системы, либо обнаруживает, что система не имеет решений.

Пример 1. Решить систему неравенств
4x-3 > 5x-5; 2x+4 < 8x;

Решение первого неравенства есть x < 2, решение второго x > 2/3. Решение системы будет 2/3 < x < 2.

Пример 2. Решить систему неравенств
2x-3 > 3x-5; 2x+4 > 8x.

Решение первого неравенства x < 2; решение второго x < 2/3. Решение системы будет x < 2/3 (при этом условии неравенство x < 2 и подавно будет верным).

Пример 3. Решить систему неравенств
2x-3 < 3x-5; 2x+4 > 8x.

Решение первого неравенства x > 2, решение второго x < 2/3. Эти условия противоречат друг другу. Система не имеет решений.

Пример 4. Решить систему неравенств
2x < 16; 3x+1 > 4x-4; 3x+6 > 2x+7; x+5 < 2x+6.

Решения данных неравенств будут соответственно: x <8, x < 5, x > 1, x > -1. Сопоставляя эти условия, находим, что первые два можно заменить одним вторым, а третье и четвертое – одним третьим. Решение системы будет 1 < x < 5.

§ 55. Неравенство первой степени с одним неизвестным

Неравенство первой степени с одним неизвестным можно привести к виду
ax > b
Решением будет:
x > (b/a), если a > 0,
и
x < (b/a), если a < 0.

Пример 1. Решить неравенство 5х-3 > 8x+1.
Решение. 5х-8х > 3+1;
                   -3x > 4;
                   x < (-4/3).

Пример 2. Решить неравенство 5x + 2 < 7x+6.
Решение. 5x-7x < 6-2;
                   -2x < 4;
                   x > -2.

Пример 3. Решить неравенство (x-1)2 < x2+8.
Решение. x2+2x+ 1 < x2+8;
                   -2x < 7;
                   x > (-7/2).

Замечание. Неравенство вида ax+b > a1x+b1 есть неравенство первой степени, если а и а1 не равны. В противном случае это неравенство приводится к числовому (верному или неверному).

Пример 1. Дано неравенство 2(3х-5) < 3(2x-1)+5. Оно равносильно неравенству 6x-10 < 6x+2, а последнее приводится к числовому (тождественному) -10 < 2. Значит, исходное неравенство – тождественное.

Пример 2. Неравенство 2(3х-5) > 3(2x-1)+5 приводится к бессмысленному числовому неравенству -10 > 2. Значит, исходное неравенство не имеет решений.