Ecuación

Ecuación

Una ecuación es una afirmación matemática que incluye un signo «=».
Por ejemplo:

3x – 2 = 4

x² – 3x +2 = 0

x + y = 8

Cualquier valor de la variable que haga cierta la ecuación se llama solución de la la ecuación. En los ejemplos anteriores, 2 es la solución de las dos primeras ecuaciones porque (3 x 2) – 2 = 4 y 2² – (3 x 2) + 2 = 0

La segunda ecuación también tiene a 1 como solución. La tercera ecuación tiene dos variables, x e y, y su solución requiere valores para ambas.

Cualquier par de números tales como x = 3 e y = 5, o x = -2,5 e y = 10,5 cuya suma sea 8 es una solución en este caso.

Véase Ecuación de una recta

Ecuación lineal

2x + 3y = 4

x + 2 = 0

5x + 2y – 5z = 1

son ejemplos de ecuaciones lineales. En una ecuación lineal, el grado de los símbolos x, y y z es 1.

Las ecuaciones que tienen términos con grados diferentes a 1, por ejemplo x², y³, 1/x son no lineales.

La gráfica de una ecuación tal como 2x + 3y = 4 es una línea recta. Esa es la razón de que la llama ecuación lineal.

Véase Función cúbica, Función cuadrática.

Ecuación cuadrática

4x² = 9

(x – 3)(x + 4) = 0

2x² – 5x + 2 = 0

son ejemplos de ecuaciones cuadráticas, ya que pueden escribirse de la forma

ax² + bx + c = 0

en donde .a ≠ 0. Cada una de ellas tiene dos soluciones que pueden hallarse de diversas
maneras.

El primer ejemplo se resuelve fácilmente dividiendo por 4 para obtener

x² = 9/4

de lo cual se saca que

x = 3/2 o x = -3/2

En el segundo ejemplo, como el producto de los dos factores (x – 3) y (x + 4) es cero, entonces o x – 3 = 0 o x + 4 = 0, de lo cual x = 3 o x = -4.

En el tercer ejemplo 2x² – 5x + 2 + 0 puede factorizarse para dar (2x – 1)(x – 2) = 0 de lo cual se deduce que o 2x – 1 = 0 o x – 2 = 0 que da x = 1/2 o 2.

Pero no siempre son fáciles de localizar los factores de manera que una ecuación cuadrática puede resolverse por el método conocido como completar cuadrados que aquí se ilustra resolviendo

x² + 8x + 5 = 0

En este método, los dos primeros términos de x² + 8x se sustituyen por (x + 4)² – 16. 4 es la mitad de 8, el coeficiente de x en la ecuación y el 16 sale de 4² que se necesita para cancelar el indeseable 4² que nos sale de (x + 4)². Esto permite que la ecuación pueda escribirse como

(x + 4)² – 16 + 5 = 0
(x + 4)² = 11

de la cual

x + 4 = +√11 o x + 4 = -√11

de modo que x = – 4 + √11 o x + – 4 – √1l

En general, las soluciones de ax² + bx + c = 0 vienen dadas por la fórmula

En el tercer ejemplo dado, a = 2, b = -5 y c = 2 da

x = (5 ± √25 – (4 x 2 x 2))/4 = (5 ± 3)/4 = 2 o 1/2