Las propiedades fundamentales
- los lados opuestos son iguales,
- los lados opuestos son paralelos,
- las diagonales se cortan por la mitad en el punto de intersección,
- los ángulos opuestos son iguales.
Si un cuadrilátero tiene una de estas propiedades o si un par de sus lados opuestos son iguales y paralelos, entonces todas las propiedades restantes se obtienen como corolarios.
La relación entre las diagonales y los lados es:
El área es
S = ah.
El rectángulo y el cuadrado
Un paralelogramo es un rectángulo (fig.2) si tiene:
- todos los ángulos rectos o
- las diagonales iguales (una de estas propiedades es consecuencia de la otra).
El área es
S = ab.
Un rectángulo es un cuadrado (fig.3), si
El área es
S = a2 = d2/2.
Rombo
Un paralelogramo es un rombo (fig.4) si tiene:
- todos los lados iguales,
- las diagonales respectivamente perpendiculares,
- las diagonales dividen por la mitad los ángulos del paralelogramo (el cumplimiento de una de estas propiedades da como corolario las dos restantes).
El área es
S = ah = a2 sen α = d1d2/2.
Trapecio
El trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos (fig.5),
- a y b son las bases del trapecio,
- h es la altura,
- m es la línea media (o sea, la recta que une los puntos medios de los lados no paralelos y es paralela a las bases): m = (a + b)/2.
El área es:
S = (a + b)h/2 = mh.
Un trapecio es isósceles si d = c. En este caso
S = (a – c cos γ)c sen γ = (b + c cos γ)c sen γ.
Cuadrilátero
La suma de los ángulos interiores de todo cuadrilátero convexo es igual a 360°.
m es el segmento que une los puntos medios de las diagonales. El área es
S = sen α d1d2/2 .
En un cuadrilátero se puede inscribir una circunferencia (fig.7, a) si, y sólo si a + c = b + d. Se puede circunscribir una circunferencia a un cuadrilátero (fig.7, b) si, y sólo si α + γ = β + δ = 180°. Para un cuadrilátero inscrito se cumple que: ac + bd = d1d2. El área del cuadrilátero inscrito es
donde p = (a + b + c + d)/2 .
Polígono
Si el número de lados es igual a n, la suma de los ángulos interiores es igual a 180°(n – 2). La suma de los ángulos exteriores es igual a 360°. El área se determina dividiendo el polígono en triángulos.
Un polígono es regular si tiene todos sus lados y sus ángulos iguales entre sí. Para los polígonos regulares que tienen n lados (fig.9) se tiene que: el ángulo central α = 360°: n, el ángulo exterior β= 360°: n, el ángulo interior γ = 180° — β. Si R es el radio de la circunferencia circunscrita y r el radio de la circunferencia inscrita (apotema), entonces
el lado
El área
En la tabla abajo véanse los datos de cada polígono regular.
